L’accelerometro viene utilizzato in tantissime applicazioni poiché l’accelerazione è una delle principali proprietà cinematiche di un corpo, dai veicoli, all’elettronica di consumo, nei controllori dei giochi, applicazioni medicali, ecc. A primo impatto può non essere chiara la similarità tra sistemi meccanici e sistemi elettrici ma vedremo come sono collegati. In questo approfondimento vengono trattati i principi sfruttati dagli accelerometri per convertire l’accelerazione in una grandezza elettrica misurabile. È necessario conoscere questi principi per poter lavorare al meglio con questi dispositivi.
A seguire un estratto di quanto scritto per il progetto del Flight Computer.
Quantità meccaniche e sistemi elettronici
Fenomeni meccanici e fenomeni elettrici non sono così distinti, o meglio, benché molto diversi, sono descritti dallo stesso tipo di equazioni. Consideriamo un sistema differenziale dove c’è un ingresso (stimolo) e un’uscita (reazione).
F(t)=K\cdot x(t)+\gamma \cdot \dot x(t)+M\cdot \ddot x(t)
V(t)={1\over C}\cdot q(t)+R\cdot \dot q(t)+L\cdot \ddot q(t)
Un generico sistema meccanico può essere visto con una componente elastica e una componente di smorzamento.
Per le grandezze circuitali generalmente la relazione coinvolge tensione e corrente ma possiamo risalire all’equazione lineare nella derivata dell’ingresso considerando che la corrente non è altro che la derivata della carica.
V(t)={1\over C}\int i(t)\:dt+R\cdot i(t)+L\cdot{di(t)\over dt}\longrightarrow i(t)={dq(t)\over dt}\\\Longrightarrow V(t)={1\over C}\cdot q(t)+R\cdot \dot q(t)+L\cdot \ddot q(t)In modo analogo sarebbe possibile anche prendere, nel sistema meccanico, come osservabile la velocità.
Quindi se facciamo rispondere l’induttanza alla massa, la resistenza allo scorrimento viscoso e la capacità alla costante elastica possiamo studiare il sistema meccanico studiando le grandezze elettriche. Questo è alla base del calcolo analogico dove convertiamo un sistema meccanico in un sistema elettronico.
Possiamo allora vedere come risponde un sistema del genere, elettrico o meccanico, all’applicazione di uno stimolo, ovvero risolvendo l’equazione differenziale. È più utile affrontarlo nel dominio della frequenza.
F(t)=F_0\cdot e^{j\omega t}x(t)=x_0\cdot e^{j\omega t}\dot x(t)=x_0\omega j\cdot e^{j\omega t}\ddot x(t)=-\omega^2 x_0\cdot e^{j\omega t}Possiamo quindi risolvere l’equazione differenziale:
F_0\cdot e^{j\omega t}=K\cdot x_0\cdot e^{j\omega t}+\gamma j\omega x_0\cdot
e^{j\omega t}-M\omega^2x_0\cdot e^{j\omega t} \\
{F_0\over M}=x_0\left[\left({K\over M}-\omega^2\right)+j\omega {M\over \gamma}\right]Ovvero prendendone il modulo:
\left|x_0\right|={{F_0\over M}\over \sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2-{\omega^2\over \tau^2}}}Questo corrisponde ad un sistema risonante smorzato. Lo spostamento è proporzionale alla forza applicata ed è indipendente dalla freqeunza finché ci manteniamo nella banda a basse frequenze. Poi la risposta del sistema aumenta e presenta un picco in corrispondenza della freqeunza di risonanza e senza il termine di smorzamento questo termine andrebbe all’infinito. C’è poi un andamento che ci dice che ad altre frequenze lo spostamento è sempre più piccolo. Tutti i sistemi fisici sono sistemi passa basso e se lo stimolo viene applicato ad alte frequenze il sistema tende a non reagire più.
Accelerometro
Sappiamo che ogni volta che c’è un’accelerazione rispetto l’esterno le masse interne al sistema subiscono la forza di inerzia e il sistema di coordinate interno smette di essere un sistema inerziale. È questa forza che andremo a misurare e l’accelerazione la misuriamo con la legge di Newton F = ma.
Equazione del moto
L’accelerometro è un semplice sistema meccanico che misura la forza impressa ad un sistema meccanico, all’interno del corpo. Sulla massa sismica si sommeranno di due spostamenti e la variazione totale sarà data dalla forza inerziale proporzionale alla derivata seconda di (x + y) che agiscono sulla massa M.
All’equilibrio abbiamo che:
m{d^2\left(x+y\right)\over dt^2}+\gamma {dx\over dt}+kx=0
\\
{d^2x\over dt}+{1\over \tau}{dx\over dt}+\omega_0^2x=-{d^2y\over dt^2}=-aSi introducono:
\text{frequenza di risonanza: }\omega_0=\sqrt{K\over m}\\
\text{coefficiente di smorzamento: }{1\over \tau}={\gamma\over m}
Allora la relazione nel dominio della frequenza si riduce a:
\left|x_0\right|={a_0\over \sqrt{\left(\omega_0^2-\omega^2\right)^2+{\omega^2\over \tau^2}}}Ovvero misurare l’accelerazione vuol dire misurare lo spostamento di questa massa.
Abbiamo tre regimi, uno a bassa frequenza dove il rapporto tra lo spostamento e l’accelerazione è costante. Salendo si entra nella zona di risonanza dove c’è una risposta più grande e dopo un valore massimo lo spostamento decade e per ω molto grande abbiamo uno spostamento via via più piccolo.
Nella regione lineare vale la relazione:
a={K\over m}x
Si osservi che c’è sempre un rapporto costante banda-guadagno. Essendo la sensibilità dello spostamento rispetto l’accelerazione m/K si potrebbe pensare di aumentare la massa ma questo porterebbe ad una freqeunza di taglio molto più piccola che, in alcuni casi, potrebbe rendere il sistema non efficace. Affinché il sistema non lavori in saturazione dobbiamo lavorare sempre nella regione lineare, questo ci garantisce di ottenere misure corrette. La cosa non è così tranquilla come potrebbe sembrare in quanto non è propriamente limitato alla frequenza di risonanza poiché applicando un impulso di accelerazione classico e facendone lo sviluppo di Fourier si ottengono più o meno tutte le frequenze e quindi c’è sempre un contributo, per quanto piccolo, a ω0 a cui corrisponderebbe ad uno spostamento infinito incapace di farci misurare l’accelerazione.
Trasduzione principale
Descrivendo il sistema meccanico abbiamo convertito l’accelerazione in posizione ma ancora non è un sensore: per avere un accelerometro dobbiamo convertire ancora la x(t) in una tensione misurabile. Un ottimo metodo per farlo è quello di utilizzare un capacitore differenziale, ovvero due capacitori con un’armatura in comune.
Per misurare lo spostamento è necessario cambiare al geometria del sistema. Consideriamo delle masse elastiche sottili ma molto robuste (realizzate nella tecnologia del silicio) e tutta la massa è concentrata nella massa sismica. Quando il substrato subisce un’accelerazione allora subisce una forza di verso apposto alla quale reagisce la forza elastica (concentrata nelle due travi) e la massa si sposta. Per determinare lo spostamento si utilizza un condensatore dove una delle due armatura è fissa mentre l’altra esce dalla massa sismica formando un condensatore insieme all’armature fisse. Il condensatore si modifica perchè allo spostamento della massa sismica il piatto del condensatore si avvicina e si allontana dalla struttura fissa.
Il capacitore, con l’avvicinarsi/allontanarsi delle armature, varia la sua capacità:
C\approx \varepsilon \varepsilon_0{A\over d\pm \delta}
Capacitore differenziale per l’accelerometro
Possiamo quindi considerare la differenza di capacità tra le due armature e farne lo sviluppo al al secondo ordine:
\Delta C=C_2-C_1\approx \varepsilon \varepsilon_0{A\over d- \delta}- \varepsilon \varepsilon_0{A\over d+ \delta}= \varepsilon \varepsilon_0{A\over d}\left(1+{\delta\over d}+{\delta^2\over d^2}\right)-\varepsilon \varepsilon_0{A\over d}\left(1-{\delta\over d}+{\delta^2\over d^2}\right)=\varepsilon \varepsilon_0{A\over d}{2\delta \over d}Ovvero:
{\Delta C\over C_0}={2\delta \over d}Possiamo inoltre inserirlo in un ponte di Wheatstone con i due capacitori dato dal capacitore differenziale e due capacitori pari a C0. Inoltre ricordiamo che lo spostamento del capacitore è legato all’accelerazione:
\delta={\Delta x\over x_0}={m\over K x_0}aQuindi polarizzando il ponte leggiamo le tensione di uscita:
v_{out}=v_i\cdot \left({1/j\omega C_1\over 1/j\omega C_1+1/j\omega C_0}-{1/j\omega C_2\over 1/j\omega C_2+1/j\omega C_0}\right)=\\=v_i\left({1/C_1\over 1/C_1+1/C_0}-{1/C_2\over 1/C_2+1/C_0}\right)E considerando la variazione dei capacitori differenziali C1 e C2 si ottiene:
v_{out}=v_i\left({(1+\delta)/C_0\over (1+\delta)/C_0+C_0}-{(1-\delta)/C_0\over (1-\delta)/C_0+(1+\delta)/C_0}\right)=\\=v_i\left({1+\delta\over 2+\delta}-{1-\delta\over 2-\delta}\right)=v_i{2\delta \over 4-\delta^2}Essendo gli spostamenti molto piccoli (le masse sono molto rigide) possiamo approssimare questa relazione e otteniamo:
\delta\ll1\Longrightarrow {v_{out}\over v_i}={\delta \over 2}={m\over 2kx_0}aCi siamo allora ricondotti ad una tensione proporzionale all’accelerazione.
Inoltre, nel condensatore per avere una corrente deve variare la carica. In questo caso si polarizza il capacitore con una tensione ad alta frequenza. Il termine di corrente dato dalla variazione di capacità diventa trascurabile e rimane una portante ad alta frequenza modulato dalla variazione di capacità, direttamente proporzionale all’accelerazione.
{dQ\over dt}=d{CV\over dt }=C\left(x(t)\right){dv\over dt}+v{dC(x(t))\over dt}{dx\over dt}Cioè l’ammettenza del condensatore diventa:
Y={i\over v}=j\omega C+\cancel{{dC\over dx}{dx\over dt}}Si ottiene un segnale proveniente dall’accelerometro che sarà proprio una modulazione d’onda dove sopra al segnale che oscilla con la freqeunza del generatore del segnale vi è impressa una variazione ulteriore dovuta alla variazione nel tempo dell’accelerazione del corpo. Essendo che i segnali elettrici sono a frequenza molto più elevata dei segnali meccanici che sono dell’ordine massimo di kHz e quindi questo secondo pezzo ha una variazione molto più lenta del segnale elettrico. Quindi il segnale elettrico può essere a frequenza tale da andare a cancellare il pezzo aggiuntivo e lasciare in evidenza solo la variazione nel tempo della capacità che darà la modulazione. Il segnale andrà allora demodulato (tolta la componente ad alta frequenza attraverso un filtro elettronico) per avere la componente di ampiezza a bassa frequenza che è proprio quella proporzionale all’accelerazione.
MEMS
Il sensore deve essere molto sensibile e rispondere rapidamente alla decelerazione. L’introduzione di questi sensori nell’elettronica integrata fu proprio uno dei paradigmi dei microsistemi che integra sullo stesso chip la parte meccanica (sensor) con tutte l’elettronica che gli serve. Questo è stato possibile con l’avvento dei Micro Electro-Mechanical Systems, ovvero sistemi “intelligenti” che abbinano funzioni elettroniche, di gestione dei fluidi, ottiche, biologiche, chimiche e meccaniche in uno spazio ridottissimo, integrando la tecnologia dei sensori e degli attuatori e le più diverse funzioni di gestione dei processi.
Tutto questo è sollevato dal piano e si poggia solo sui quattro ancoraggi. Questa massa è sensibile alla forza di inerzia e le due travi costituiscono l’elemento elastico. Lo spostamento viene misurato attraverso questa serie di condensatori, ciascuno fatto come un condensatore differenziale con la pinna che esce dalla massa sismica che entra tra le due armature fisse. Quando c’è un’accelerazione la massa sismica si sposta dalla parte opposta.
