RecurDyn e membri flessibili

Utilizzo di RecurDyn per l’analisi di un meccanismo cedevole tramite modellazione con tecniche per il multibody flessibile.

Il seguente articolo è un estratto di un progetto realizzato per il corso di Tecniche Avanzate di Progettazione di Dispositivi Protesi. Tenuto per Ingegneria Medica presso l’Università degli Studi di Roma Tor Vergata. 

Autori: Mastrofini Alessandro & Muscedere Erica

Multibody flessibile

Le tecniche per l’analisi flexible multibody permettono di portare in conto la flessibilità del corpo all’interno di analisi dinamiche. In particolare, questo risulta fondamentale quando tale flessibilità agisce sulle caratteristiche inerziali o risulta indispensabile al moto, come nelle cerniere flessibili. All’interno di RecurDyn possiamo utilizzare differenti formulazioni per portare in conto la flessibilità dei corpi.

Discrete flexible multibody

Le tecniche discrete flexible portano in conto la flessibilità andando a segmentare l’elemento da considerare flessibile in diversi segmenti. Tali segmenti vengono collegati da forze elastiche espresse mediante una matrice di rigidezza correlata alle proprietà elastiche del corpo.

Tali metodi risultano più che validi per la simulazioni di elementi traviformi in quanto è chiaro come segmentare e le forze elastiche possono essere dedotte a partire dalle proprietà della trave e della sua sezione.

Full flexible

Nelle tecniche full flex viene reso flessibile l’intero elemento e quindi vengono inclusi tutti i gradi di libertà della discretizzazione agli elementi finiti all’interno dell’equazione del moto.

All’interno dell’ambiente di simulazione RecuDyn si utilizza un approccio corotazionale. Dunque, gli spostamenti nodali vengono calcolati sovrapponendo al moto rigido una deformazione derivante dagli elementi vicini. Quindi l’energia elastica interna, dovuta a tensioni e deformazioni, viene portata in conto nell’equazione complessiva del moto.

Tale approccio permette di combinare un onere computazionale non eccessivo e gestire una formulazione simile agli elementi finiti che permette di calcolare direttamente tensioni e deformazioni.

Modellazione in RecurDyn

Per modellare la struttura in esame (fig. 1a) si è scelto di modellare i corpi rigidi mediante CAD e importare il file parasolid all’interno di RecurDyn. Successivamente è stato modellato e vincolato il corpo flessibile assicurandoci di mantenere quanto più possibile il moto della struttura piano.

Per il discrete flexible è stato usato un elemento BeamG con 40 segmenti (fig. 1b). Sono poi state impostate le proprietà di sezione portando in conto sia le proprietà geometriche che materiali per l’acciaio armonico EN 10270-1 classe SM. Per il full-flexible si utilizza una mesh con elementi triangolari piastriformi di tipo PShell1 portando in conto, all’interno dell’elemento, le proprietà materiali dell’acciaio armonico. Vengono considerati 5982 elementi (fig. 1c).

Chiaramente la formulazione full flex richiedere un maggiore onere computazionale che, come si vede dai risultati seguenti, non sempre risulta giustificato ma spesso i risultati risultano simili al caso discrete flexible.

Coppia movente

Considerando i corpi rigidi in acciaio questi possono agire più o meno intensamente sul campo di forze a seconda di come viene posizionata la struttura. A seguire riportiamo quindi un caso con la presenza di gravità e la struttura in verticale e il caso analogo in assenza di gravità per cui, come si può osservare dai risultati seguenti, le forze agenti sulla cerniera flessibile sono fortemente ridotte.

Per analizzare la coppia applicata in condizioni statiche si è identificata una velocità sufficientemente bassa tale da poter trascurare gli effetti dinamici. In particolare, a partire da una velocità di −𝜋 rad/s, questa è stata scalata dividendo per un fattore di scala crescente: 𝙿𝚅_𝚜𝚌𝚊𝚕𝚎 ∈ {1, 2; 5; 10; 102; 103; 104; 105}. Si è scelto quindi il caso in cui la velocità è pari a 𝙿𝚅_𝚟𝚎𝚕 = −10−4 ⋅ 𝜋 rad/s in cui l’andamento della coppia applicata risulta costante ed equivalente al caso successivo.
Per considerare la coppia agente nel range di rotazione della manovella in [0◦; 360◦] è stata imposta una simulazione su un tempo pari a 𝑡 = 2 ⋅ 𝙿𝚅_𝚜𝚌𝚊𝚕𝚎 così da avere un giro completo (2𝜋), scalando opportunamente il passo di integrazione.

Gravità

Nel caso in cui viene considerata la forza di gravità il peso dei membri rigidi, in acciaio, tende a schiacciare la cerniera flessibile. Inoltre, la presenza di tali forze tende a generare un moto in direzione opposta a quanto imposto dalla velocità (negativa) e si osserva inizialmente una coppia discorde (fig. 2).

Confrontato il caso di discrete con il caso full flex è possibile vedere come i valori massimi, in modulo, sono simili ed in entrambi si manifesta un attraversamento dello zero. Tuttavia, i due andamenti presentano uno sfasamento nonostante la velocità imposta sia la stessa (−𝑝𝑖 ⋅ 10−4 rad/s) e sia tale da poter considerare il sistema statico. Essendo un’analisi quasi statica non stiamo considerando il contributo inerziale dei corpi (ne rigidi ne flessibile) ma possiamo vedere, anche confrontando con il caso in cui non è presente gravità (fig. 7), come il contributo statico della cerniera flessibile è molto piccolo rispetto il peso dei membri rigidi.

Assenza di gravità

Se non viene considerata la forza di gravità si riesce ad avere una migliore stima dell’effetto della cerniera flessibile.

In particolare, ponendoci in una condizione quasi statica si osserva (fig. 7) una coppia iniziale concorde con la velocità imposta. Successivamente la coppia cambia segno, indice che il contributo statico della cerniera tende a fornire un richiamo elastico più intenso di quanto non sarebbe sufficiente al moto imposto. I valori, massimi e minimi, sono notevolmente inferiori al caso in cui risulta presente la gravità.

Coppia di azionamento

L’andamento della coppia di azionamento cresce al crescere della velocità imposta. I risultati numerici sono presenti in table 1 e sono stati letti dal grafico della coppia di driving agente sulla manovella, appena inizia il moto.

Vengono riportate anche le tracce del centro della coppia rotoidale tra il membro intermedio e il membro flessibile in fig. 8 confrontando i casi full flex con il discrete flex. Gli andamenti risultano molto simili. In tutti i casi si verifica almeno un’oscillazione intorno al punto iniziale, più o meno accentuata.

Analisi delle tensioni

er il modello full flex è facile andare a leggere le tensioni semplicemente attivando la funzionalità di contour e calcolandone il valore massimo. Si è scelto un criterio di Von Mises leggendone i valori massimi per le 4 differenti velocità considerate. Tali valori, in table 2, sono raggiunti nel momento di massima flessione, ovvero nel range di rotazione tra i 90° e i 180°. Un esempio è stato riportato per il caso di velocità 20 °/s in fig. 10.

Per il caso discrete flexible è invece necessario fare un ragionamento in più. Innanzitutto si parla di corpi rigidi quindi è impossibile andare a leggere deformazioni e/o tensioni dalla simulazione. Si possono tuttavia leggere i carichi applicati e riportarli su una struttura tipo trave, facente riferimento al singolo elemento del beam group. Per farlo è necessario fare alcune considerazioni pratiche.

L’elemento più caricato è quello incastrato per cui possiamo prendere le reazioni e riportarle sull’elemento, considerandolo come un materiale deformabile caratterizzato da una determinata sezione 𝐴 con un suo momento di inerzia 𝐼𝑖𝑖, sui relativi riferimenti.

Modello di trave

Riguardando quindi l’elemento come un concio elementare di una trave macroscopicamente snella possiamo concentrarci sui contributi numericamente rilevanti, ovvero le tensioni principali lungo l’asse della trave. Tali tensioni lungo 𝑦 nel sistema di riferimento globale sentiranno di due contributi calcolabili mediante la formula di Navier.

Un contributo dato dal carico di trazione:

\begin{equation}
\sigma_{y}=\frac{N}{A}
\end{equation}

E uno dato dalla coppia agente:

\begin{equation}
\sigma_{y}=\frac{M_{z}}{I_{z z}} l_{x}
\end{equation}

Dove 𝑙𝑥 è la metà della lunghezza sulla terza direzione (i.e. metà dello spessore).

Questi due contributi sono i più rilevanti anche nel calcolo delle tensioni di Von Mises. Questo è dovuto alla particolare geometria del moto che essenzialmente, per come è costruita la struttura, può dirsi piano. Inoltre, vista la geometria della trave e la distribuzione dei carichi agenti possiamo considerare uno stato piano di tensione. Ne risulta infatti che i valori calcolati sono confrontabili con quanto ottenuto con la formulazione full flex (table 2), ad eccezione del caso 90 °/s dove il divario risulta notevolmente più ampio.

Tensioni massime

Per confronto sono riportati anche i casi in cui la flessione è massima nel caso in cui viene considerata la gravità in fig. 10b. Da tali deformazioni abbiamo escluso questo caso da queste ultime analisi in quanto alcune deformazioni risultano veramente eccessive e probabilmente attribuibili solamente all’analisi numerica.

Frequenza del meccanismo

Per l’analisi della frequenza propria del meccanismo si può utilizzare l’analisi RFlex all’interno di RecurDyn. In particolare, tolti i modi di traslazione ne risulta la prima frequenza a 6.50 Hz e la seconda a 17.92 Hz. Ulteriori dettagli sono presenti in fig. 11.

Per la frequenza libera di oscillazione del meccanismo, che chiaramente non può essere analizzata sfruttando metodi che si avvalgono di composizioni lineari in regime di piccoli spostamenti e piccoli gradienti di spostamento, è necessario fare un discorso di più alto livello. Probabilmente tale frequenza è legata al tipo di sistema considerato, ovvero stiamo considerando un insieme di masse collegate da forze (matrici di rigidezza o energia elastica interna).

Ciò non è altro che un sistema massa-molla smorzato che, per quanto possano essere distribuite le masse e le singole molle, potrebbe essere caratterizzante di un oscillatore armonico. All’interno delle simulazioni viene però introdotto un fattore di smorzamento, per il tramite del damping ratio considerato pari a 10−3. L’introduzione di questo smorzamento tende si a stabilizzare il sistema ma tende a ridurre fortemente i contributi oscillatori, soprattutto se viene alzato.

Tale frequenza può essere analizzata impostando una condizione di velocità con uno sweep in frequenza e andando a vedere, tramite la FFT, la frequenza dove sembra esserci risonanza.