Analisi di un meccanismo cedevole tramite modello pseudorigido di Howell e confronto con analisi FEM non lineare.
Il seguente articolo è un estratto di un progetto realizzato per il corso di Tecniche Avanzate di Progettazione di Dispositivi Protesi. Tenuto per Ingegneria Medica presso l’Università degli Studi di Roma Tor Vergata.
Autori: Mastrofini Alessandro & Muscedere Erica
Indice
Cerniere flessibili
Alcuni meccanismi, apparentemente rigidi, permettono particolari movimenti grazie alla loro flessibilità. Tale meccanismo prende il nome di meccanismo cedevole. Alcune zone, dove si concentrano le deformazioni, possono essere identificate come cerniere flessibili. Permettono dei movimenti relativi in modo simile alle coppie cinematiche classiche. Questi corpi hanno un comportamento elasto-cinematico, ovvero la cinematica non è unica ma è influenzata dai carichi e dall’elasticità stessa.
Approccio per lo studio di un meccanismo cedevole
Esistono diversi approcci. Un approccio computazionalmente più facile è quello di sostituire il corpo elasto-cinematico con un meccanismo pseudorigido. Ovvero, si considera il corpo come rigido ma segmentato in parti differenti collegate da coppie cinematiche. In particolare, considereremo il modello di Howell che prevede l’inserimento di una cerniera e di una molla per ripristinare l’elasticità.
Un approccio differente invece prevede di effettuare un’analisi strutturale agli elementi finiti, portando in conto l’elasticità complessiva. Spesso questo richiede di valutare l’analisi in grandi spostamenti e quindi tale non linearità porta ad un costo computazionale notevolmente maggiore.
Modello pseudorigido di Howell
Il modello di Howell fa parte di una categoria più ampia nota come meccanismi a cerniera concentrata.
Tale modello permette di valutare il comportamento elasto-cinematico nel caso di trave incastrata caricata con un momento e alcune varianti. La struttura in esame può essere scomposta in due casi.
Trave incastrata
L’asta flessibile di destra può essere vista come il modello di Howell con trave incastrata ad un estremo e l’altro a cui sono permesse solo traslazioni e caricato con un momento. Esistono poi le corrispettive tabelle per i casi, come questo in esame, in cui il carico è di tipo forza. Il modello prevede di dividere la trave in tre corpi rigidi connessi da due cerniere a distanza dai bordi di:
\begin{equation}
d_{d x}=\frac{(1-\gamma) l}{2}=18.5375 \mathrm{~mm}
\end{equation}Inoltre, considerando la forza con un angolo di 90◦ rispetto l’asse della trave si identificano i seguenti parametri:
- 𝛾 = 0.8517
- 𝐾𝜃 = 2.65
Quindi si stima la rigidezza delle molla come:
\begin{equation}
K_{d x}=2 \gamma K_{\Theta} \frac{E I}{l}=104.6122 \frac{\mathrm{N} \mathrm{mm}}{\mathrm{rad}}
\end{equation}Trave incastrata-appoggiata
Per l’asta di sinistra non è direttamente corrispondente ad un modello di Howell ma è possibile, osservando le condizioni di carico, ricondursi al caso di trave incastrata caricata con una forza. Quindi i parametri risultanti prevedono una molla di rigidezza:
\begin{equation}
K_{s x}=\gamma K_{\Theta} \frac{E I}{l}=52.8226 \frac{\mathrm{N} \mathrm{mm}}{\mathrm{rad}}
\end{equation}Ottenibile dai parametri:
- 𝛾 = 0.8517
- 𝐾𝜃 = 2.67617
Ed una cerniera a distanza dall’estremo inferiore di:
\begin{equation}
d_{s x}=\gamma l=212.9250 \mathrm{~mm}
\end{equation}Tale modello è stato analizzato in Solidworks Motion. I segmenti delle aste sono stati tagliati in parte con la funzione Split e poi, i differenti file, ricaricati in assieme. Sono stati aggiunti i vincoli di coincidenza tra gli assi che identificano la linea media della zona di taglio (vedi fig. 2a). Sono state aggiunte le molle torsionali prendendo come asse l’asse della cerniera e il secondo corpo cui fa riferimento.
L’analisi è stata impostata a 2 secondi con un carico di 1 N sulla faccia laterale di sinistra del corpo massivo.
FEA non lineare
Per effettuare l’analisi agli elementi finiti, su Solidworks Simulation è stata impostata un’analisi di tipo non lineare tale da tenere in conto dell’elasticità del sistema e dei grandi spostamenti. Inoltre, tale analisi permette di muoversi lungo passi di carico e arrivare gradualmente ad applicare il carico totale. Questo, oltre a risolvere gradualmente il problema non lineare ci permette di identificare il carico di snervamento (di cui parleremo meglio nella sezione finale).
L’analisi è stata effettuata considerando due corpi massivi con altezza differente: una prima a 120 mm e una a 30 mm. Le altezze sono state variate al fine di semplificare la complessità computazionale. Il corpo massivo è stato considerato di materiale molto più rigido (con proprietà simili al diamante sintetico) dell’acciaio armonico di cui sono fatte le aste.
Vincoli
Per simulare i vincoli di progetto sono è stato messo un vincolo di tipo incastro sul bordo inferiore dell’asta di sinistra e tre carrelli (nelle tre direzioni ortogonali) sul bordo inferiore dell’asta di destra, tali da bloccare i tre modi di traslazione lasciando libere le rotazioni.
Le forze di 1 N e 10 N sono state applicate sulla faccia laterale sinistra del corpo massimo.
La prima simulazione è stata effettuata con un corpo massivo con altezza 120 mm e una forza applicata di 1N. Come è possibile vedere da fig. 3, la struttura non arriva a rottura: lo stress massimo raggiunto (step 17) è di circa 630 MPa, minore rispetto al limite di snervamento dell’acciaio armonico di 1020.
Sempre da fig. 3 è possibile avere una conferma di come il posizionamento delle cerniere nel modello pseudorigido sia avvenuto nel modo corretto: avendo un incastro nell’estremo superiore dell’asta sinistra, si vede come il segmento immediatamente sotto rimanga circa rettilineo mentre subito dopo l’asta ha la sua massima curvatura; allo stesso modo, nell’asta di destra, avendo due incastri negli estremi superiore ed inferiore, le massime curvature si hanno dopo i segmenti rettilinei attaccati agli incastri stessi.
Carico e meccanismo cedevole
Una seconda analisi è stata effettuata andando a ridurre l’altezza del corpo superiore e aumentando la forza applicata a 10N. Variare l’altezza del corpo semi-rigido non ha un grande effetto sul comportamento della struttura (vista la grande differenza di rigidezza tra i due materiali) ma ha un grande riscontro nella riduzione dei tempi di calcolo, considerando che l’analisi lineare si completa in non meno di 15 passi.
Questa simulazione è stata effettuata principalmente per far arrivare almeno una delle due aste a snervamento. Nella fig. 4 è possibile notare come gli spostamenti fino all’applicazione di 1 N sono gli stessi dell’analisi prece- dente. Allo step 17 si è superato il limite di snervamento dell’acciaio armonico arrivando ad uno stress di circa 1025 MPa ed una forza applicata di circa 5.36 N. Le forze applicate nei vari step sono state calcolate andando a moltiplicare la forza iniziale per il tempo corrispondente al determinato step. Si noti che il tempo citato è un tempo fittizio rappresentante la frazione di carico raggiunta.
Analisi dei risultati
In figura fig. 5 è possibile vedere un confronto tra l’analisi cinematica del modello pseudorigido di Howell e l’analisi FEM.
Si vede come, considerando una forza di solo 1 N, i due spostamenti possono essere considerati coincidenti. Inoltre, l’analisi FEM non riesce a coprire l’intero spostamento che copre il modello pseudorigido. Volendo in- dagare maggiormente il comportamento è stata effettuata la seconda analisi con 10 N. Lo spostamento, fino ad un carico di circa 1 N coincide, proseguendo oltre inizia a divergere. Lo spostamento dell’analisi FEM, con un carico eccessivo, tende ad uscire dall’arco di circonferenza e vede presente un maggior contributo di traslazione verticale.
Inoltre, osservando le rotazioni (fig. 7a) si vede come, nella parte che si riesce a coprire con il modello pseudorigido le rotazioni coincidono, ovvero sono nulle. Nei passi seguenti il modello inizia a ruotare per soddisfare l’equilibrio elastico delle due aste sottoposte a vincoli differenti. Si osservi come l’angolo non può essere let- to direttamente della mesh solida (solo 3 gradi di libertà traslazionali) ma può essere calcolato considerando gli spostamenti dei punti estremali del segmento di base del corpo massivo, passante per 𝑀, per semplici considerazioni trigonometriche.
Plasticizzazione
Sulla base dell’analisi FEM non lineare con un carico di 10 N è possibile determinare il carico di plasticizzazione.
In particolare, considerato un limite di snervamento per l’acciaio armonico in esame di 𝜎𝑦 = 1200 MPa, la struttura esce dal limite elastico tra 7.14 N e 8.14 N.
Considerando invece una struttura con le aste in ABS la simulazione fornisce risultati molto differenti.
Il corpo massivo viene considerato in alluminio, in modo da rispettare il rapporto di rigidezza elevato (corpo rispetto aste). Viene impostato un carico di 1 N e cambiato il parametro singularity elimination factor a 0.5 per permettere al modello di spingersi oltre e cercare il limite di snervamento, per l’ABS di 𝜎𝑦 = 30 MPa.
Il risultato, in termini di spostamenti iniziali è molto simile al precedente ma il limite di snervamento viene raggiunto ad una deformazione eccessiva. Seguendo la simulazione il limite viene raggiungo per un carico di 0.5 N ma la deformata complessiva non è accettabile. Questo è attribuibile alla poca rigidezza del materiale che, insieme al ridotto spessore delle aste laterali, permette delle deformazioni molto ampie. La simulazione non vede il raggiungimento del limite di snervamento.
Inoltre, è molto probabile che prima di arrivare a snervamento la struttura collassi a causa dell’elevata de- formazione che, nonostante sia permessa nella simulazione numerica, potrebbe non essere accettabile nella realtà.
