Realizzazione di una struttura lattiginosa basata sulla tassellatura di Voronoi. Viene anche eseguita un’analisi sulla posizione ottima dei punti tale da minimizzare il volume del corpo.
Il seguente articolo è un estratto di un progetto realizzato per il corso di Tecniche Avanzate di Progettazione di Dispositivi Protesi. Tenuto per Ingegneria Medica presso l’Università degli Studi di Roma Tor Vergata.
Autori: Mastrofini Alessandro & Muscedere Erica
Diagrammi di Voronoi
Un diagramma, o tassellatura, di Voronoi è una decomposizione di uno spazio metrico determinata dalle distanze di un insieme discreto di punti. Nel caso bidimensionale, il diagramma di Voronoi per 𝑆 è la partizione del piano che associa una regione 𝑉 ad ogni punto 𝑝 ∈ 𝑆 in modo tale che tutti i punti di 𝑉 siano più vicini a 𝑝 che ad ogni altro punto in 𝑆.
Per realizzare il diagramma è possibile utilizzare i comandi predefiniti all’interno di Matlab e/o Wolfram Mathematica. In particolare, il comando di Matlab presenta alcune limitazioni in quanto restituisce l’insieme di punti delimitanti i segmenti del diagramma ma non i punti di bordo. Questo rende difficile misurarne la lunghezza complessiva e richiede approssimazioni notevoli per l’ottimizzazione del volume.
All’interno di Mathematica è più facile trattare l’oggetto restituito dalla funzione e calcolare la lunghezza totale di tutti i segmenti presenti (bordo compreso). Inoltre, è possibile esportare facilmente un’immagine vettoriale del diagramma di dimensioni corrette e tale da includere solo segmenti e punti centrali. Tale immagine verrà poi usata direttamente in Solidworks.
Volume minimo
L’obiettivo di minimizzazione riguarda il rapporto tra il peso della struttura lattiginosa e il peso della struttura piena. I volumi in fig. 2 fanno riferimento alla struttura di metà cilindro dopo l’estrusione dei rami e la raccordatura. Il focus è facilmente trasferibile al calcolo del minor volume della struttura lattiginosa e quindi alla lunghezza dei rami. Questo è stato affrontato già dal design del diagramma cercando di minimizzare la lunghezza totale dei segmenti. Sono stati utilizzati due differenti approcci che hanno portato a conclusioni simili.
Approccio esaustivo
Un possibile approccio è di tipo esaustivo, ovvero un’analisi a «forza bruta» su diverse combinazioni. In particolare, mediante Mathematica abbiamo impostato una funzione tale da generare coppie random di numeri {𝑥, 𝑦} nel range di interesse (dominio di 200 mm × 300 mm) verificando automaticamente che la distanza tra i punti fosse entro i requisiti di progetto (altrimenti selezionava un nuovo punto). Si estraggono 20 punti ed è possibile creare il diagramma di Voronoi associato. Testando oltre 1 milione di diagrammi mediante un ciclo di ottimizzazione si riesce a ridurre la somma delle lunghezze dei segmenti generati nel diagramma (bordi compresi). Sono stati estratti i punti e il diagramma in fig. 1a.
Geometrie ragionate
Un approccio differente prevede l’utilizzo di particolari simmetrie. Grazie a Mathematica è stato possibile generare un diagramma interattivo che, spostando i punti, forniva la tassellatura. Questo ha permesso di fare alcune considerazioni. Utilizzando una griglia ordinata si raggiungevano buoni risultati ma l’opzione migliore è stata quella di disporre i punti su una circonferenza (fig. 1b) di raggio:
R=\frac{\text { distanza tra i punti }}{2 \sin \left(\frac{2 \pi}{2 \cdot n . \text { punti }}\right)}Così da avere i punti distanti come da specifiche e avere il minor numero di rami.
Costruzione CAD
Per la costruzione si utilizza direttamente l’immagine esportata in vettoriale. Prima di caricarla all’interno di Solidworks è stata convertita in formato .DXF separando i segmenti intersecanti in diversi livelli così da semplificare la successiva fase di estrusione. Quindi è possibile estrudere i rami centrali tramite estrusione sottile centrata e i bordi avendo cura di estrudere verso l’interno (così da avere la struttura 200×300 mm). Mediante il comando flex si flettee infine si specchia per completare il cilindro.
Il risultato migliore è stato raggiunto con la disposizione a raggiera.
Riferimenti
- MathWolrd- Voronoi Diagram
- UCI – Geometry in Action
