Realizzazione di una cella elementare di una struttura cellulare caratterizzata da una geometria a Giroide in ambiente di modellazione CAD, mediante Solidworks.
Il seguente articolo è un estratto di un progetto realizzato per il corso di Tecniche Avanzate di Progettazione di Dispositivi Protesi. Tenuto per Ingegneria Medica presso l’Università degli Studi di Roma Tor Vergata.
Autori: Mastrofini Alessandro & Muscedere Erica
Superfici di minimo
Le superfici di minimo sono particolari superfici definite geometricamente come superfici tali da minimizzare la loro stessa area. Per tali condizioni geometriche, derivabili in geometria differenziale, si dimostra come sono tali da avere curvatura media nulla.
Si può avere un’idea di una superficie di minimo osservando le geometrie create dall’acqua saponata a contatto con un telaio metallico. Sono disponibili molti esempi direttamente in natura.
Molte di queste superfici sono state derivate matematicamente diversi decenni fa ma sono disponibili in forma implicita. Bensì siano calcolabili e rappresentabili all’interno di software numerici (come Matlab) non è possibile definirle all’interno di modellatori CAD. La maggior parte dei software per la modellazione permette solo di inserire equazioni implicite e questo richiede, per generarle, alcune considerazioni.
Il seguente progetto parte dal requisito di avere una cella elementare dipendente da un solo parametro geometrico, dallo spessore e poi la ripetizione spaziale lungo le tre direzioni principali.
Le considerazioni seguenti, anche se focalizzate sul Giroide, sono valide per molte altre superfici analoghe. Il primo passo, è l’analisi della geometria di minimo considerata.
Giroide
Il giroide è una superficie di minimo triplamente periodica rappresentata dalla seguente equazione in forma implicita:
\sin x \cos y+\sin y \cos z+\sin z \cos x=0 \quad\text{(1)}L’equazione è riferita ad una cella elementare di lato 2𝜋, centrata nell’origine, rappresentata in fig. 1a. L’elemento base è una superficie triangolare rappresentata in fig. 1c. Per la costruzione consideriamo come elemento base la superficie all’interno dell’ottante individuato dal cubo di lato 𝐿/2 .
La precedente equazione va particolarizzata alle dimensioni desiderate della cella e centrata rispetto al proprio sistema di riferimento. In questo caso:
\sin \left(\frac{x-5}{L} 2 \pi\right) \cos \left(\frac{y-5}{L} 2 \pi\right)\\+\sin \left(\frac{y-5}{L} 2 \pi\right) \cos \left(\frac{z-5}{L} 2 \pi\right) \quad \quad \text{(2)} \\+\sin \left(\frac{z-5}{L} 2 \pi\right) \cos \left(\frac{x-5}{L} 2 \pi\right)=0Per identificare i bordi dell’elemento base è sufficiente considerare il piano corrispondente ad un lato del cubo e risolvere nelle due variabili rimanenti. Si ottiene:
\arctan \left[-\sin \left(x_{i}\right)\right]\quad \quad \text{(3)}
Dove 𝑥𝑖 e 𝑥𝑗 indicano le componenti sulle direzioni ortogonali al piano considerato. Ruotando opportunamente le componenti si descrivono tutti e 6 i bordi della superficie dell’ottante.
Invece, considerando la cella a 𝐿/4 ci si posiziona a metà dell’ottante e si ricava la curva:
\arccos \left[-\cot \left(x_{j}\right)\right]\quad \quad {(4)}
blu) (a); ottante elementare con curve di bordo (b)
Costruzione CAD
Per costruire la geometria in Solidworks partiamo dall’ottante. Si parte costruendo le curve di bordo utilizzando
la funzione, in forma parametrica, che le descrive all’interno dello schizzo 3D. Questo però non ci permette di impostare un unico parametro di controllo tramite il quale scalare la cella a piacere.
Un approccio diverso consiste nell’approssimare la curva eq. (3) con un arco di circonferenza. Per farlo è ne- cessario stimare il rapporto tra il raggio del cerchio e il lato della cella pari a ratio = 0.63. Definiamo un cubo di appoggio che rappresenta l’ottante (lato side = 𝐿/2 ) e tracciamo opportunamente gli archi di raggio radius = side ∗ ratio. Per i riferimenti seguenti utilizzeremo una cella elementare di lato 𝐿 = 1 cm.
Successivamente potrebbe essere sufficiente creare con un fill una superficie tra gli archi. Tuttavia, per garantire una maggiore continuità di curvatura conviene adottare la tecnica seguente. Si creano dei piani di appoggio ad una certa distanza dai bordi del cubo. In questo caso la distanza ottimale è stata stimata a side/4 da ogni bordo. Poi si creano delle alette dagli archi uscenti perpendicolarmente alla faccia del cubo e si tagliano con i piani citati. Successivamente si riempie la parte centrale garantendo la continuità di curvatura almeno in questa zona. Poi si riempiono gli angoli e si unisce (surface knit).
Cella elementare
Così abbiamo costruito la superficie dell’ottante di base.
Si procede poi realizzando 8 copie e traslandole per realizzare il cubo di elementi 2 × 2 × 2 della cella elementare. Allora si procede ruotando di 180° intorno all’asse opportuno. È necessario posizionare il riferimento nel punto centrale del corpo stesso affinché sia mantenuta la possibilità di scalare la cella a partire dal solo parametro side.
elementi (c)
Dopo aver opportunamente ruotato gli elementi è possibile unire gli ottanti con il knit e dare uno spessore con thicken. Si ha così la cella elementare.
La curvatura risulta continua sul bordo corrispondente alla parte centrale delle alette. Sui triangoli di bordo risulta solo la tangenza e si creano dei problemi di continuità quando si incontrano 8 triangoli nel punto centrale.
spessore (b)
Scalabilità
La cella può essere scalata modificando il parametro side e automaticamente tutto il modello verrà scalato da Solidworks, mantenendo la struttura.
Inoltre, è possibile ripetere a piacere la cella utilizzando il pattern lineare e fornendo il numero di ripetizioni desiderate nelle tre direzioni. Un primo comando sul piano xz con i parametri trasl e trasl1 e poi il tutto ripetuto lungo y con il parametro trasl2.
Per avere una migliore continuità di superficie tra le celle conviene prima replicarle, poi unirle e infine dare lo spessore di volume. Inoltre, questo permette anche di ovviare al fatto che i comandi finali (knit e thicken) ignorano le ripetizioni fatte dal pattern lineare se se ne modifica il numero dallo strumento equazioni (fig. 7)
Verifica della ricostruzione
Per analizzare l’errore commesso nell’approssimazione iniziale e nella ricostruzione abbiamo scelto casualmente 10 punti sulla superficie analitica, li abbiamo inseriti numericamente in uno schizzo 3D e ne abbiamo calcolato la distanza dalla superficie ricostruita. I risultati in fig. 8. L’errore è minimo ai bordi ma leggermente più elevato nelle zone di giunzione degli angoli.
Per avere un stima più rappresentativa e di facile interpretazione abbiamo ricostruito una mesh rappresentante la superficie analitica con le dimensioni della cella considerata mediante Wolfram Mathematica e Surface Evolver . Importando la mesh all’interno dell’ambiente di modellazione abbiamo usato il tool di Geomagic per farne un’analisi della deviazione (fig. 9).
Da quest’ulteriore analisi si può vedere come in alcuni punti viene superato l’errore di progetto del 1%.
Riempimento di strutture non conformi
È possibile sfruttare il pattern e le ripetizioni per riempire una struttura non conforme. Abbiamo aumentano il numero di ripetizioni lineari e tagliato la struttura del giroide accentuando le caratteristiche dei bordi della struttura non conforme. Il bordo della struttura è stato inspessito.
Riferimenti
- Wikipedia – Minimal Surface
- Oraib Alketan – Multifunctional mechanical‐metamaterials based on triply periodic minimal surface lattices: A review
- Joaquín Pérez – A New Golden Age of Minimal Surfaces
- Diab W.Abueidda – Mechanical properties of 3D printed polymeric Gyroid cellular structures: Experimental and finite element study
