MoM ed equazioni elettriche integrodifferenziali

I moderni computer hanno tutti i presupposti per sviluppare metodi di risoluzione numerica per un’ampia classe di problemi fisici che sono rimasti per anni senza una soluzione analitica. Esistono diversi metodi di soluzione numerica noti in letteratura e tra questi il metodo dei momenti (MoM) è un metodo generabile applicabile ad un’ampia classe di problemi elettromagnetici. Permette di trattare facilmente strutture aperte in cui è applicabile il teorema di equivalenza e vengono scelte come incognite le correnti elettriche e magnetiche.

MoM

In un metodo differenziale di tipo FEM o alle differenze finite viene considerata sia l’antenna che l’ambiente e tutto viene discretizzato in elementi. L’incognita, tipicamente il campo elettrico, viene calcolato in ciascun elemento e quindi si otterrà il campo su tutto il volume di calcolo. Questi metodi si risolvono utilizzando la formulazione di Faraday che dice come le cose in un elemento siano legate agli elementi vicini. È un’interazione che si espande da un punto e si allarga, quindi le relazioni che devono essere risolte sono scritte sottoforma di equazioni differenziali alle derivate parziali.

È chiaro che volendo calcolare il campo in un volume molto elevato il dominio di calcolo aumenta così come la complessità computazionale. Ci sono però anche i metodi integrali dove soltanto gli oggetti sedi di corrente verrano discretizzati e l’incognita sarà allora la corrente nel singolo elemento. Ciascuna corrente interagirà con le altre comprese anche con quelle lontane e viene implementata un’interazione a distanza.

EFIE

Considerando un oggetto metallico (ma la trattazione è facilmente estensibile anche ai dielettrici) e delle sorgenti che irradiano, avremo un campo incidente e un campo scatterato. Il campo totale sarà la somma dai due campi e cioò che ci interessa è proprio il campo prodotto dall’interazione. Per farlo rimuoviamo l’oggetto metallico riconducendoci ad una sorgente equivalente.

Note le densità di corrente indotte dalla sorgente dovremmo ricondurci alla corrente equivalente prodotta dall’oggetto metallico, allora sapremmo ricondurci al campo equivalente tramite i potenziali vettori.

Siamo nello spazio libero per cui abbiamo che il potenziale vettore è espresso da:

\underline{A}(r)=\mu_{0} \iint_{S} J_{e}\left(\underline{r}^{\prime}\right) \frac{e^{-j k_{0}\left|r-r^{\prime}\right|}}{4 \pi\left|r-r^{\prime}\right|} d r^{\prime}

Inoltre considerando la condizione al bordo tale per cui il prodotto vettoriale tra il campo elettrico e la normale è nullo potremmo ricondurci all’espressione del campo scatterato a partire da quello indotto:

\underbrace{\hat{n} \times \underline{E}^{i}}_{\text {noto }}=-\hat{n} \times \underline{E}^{s}=j \omega \hat{n}+\left[\underline{A}+\frac{1}{k_{0}^{2}} \nabla \nabla \cdot \underline{A}\right]\\ \:\\
\hat{\underline{n}} \times \underline{E}^{i}=\underline{\hat{n}} \times\left[j \omega \mu \iint_{S}\left(1+\frac{1}{k_{0}^{2}} \nabla \nabla \cdot\right) \underline{J}_{e}\left(r^{\prime}\right) G_{0}\left(r, r^{\prime}\right) d_{r}^{\prime}\right]

Questa è un’espressione integrodifferenziale di tipo elettrica, essendo il termine noto espresso come campo elettrico si parla di equazione elettrica. Nota in letteratura come EFIE, electric field integral equation. Analizzando queste equazioni hanno tutte la stessa forma, termine noto fuori (funzione che rappresenta il campo incidente) e l’incognita dentro l’equazione intrappolata da derivate o funzioni che sono operatori lineari (integrale/derivata della somma è la somma di integrale/derivata). Sebbene la forma sia complicata questo, dal punto di vista matematico, si scrive come un’operatore lineare applicato all’incognita (funzione, generalmente vettoriale) uguale ad un termine noto. Tutte le EFIE sono presentabili come nella seguente equazione e per liberare la corrente dobbiamo costruire l’inversa così da poter calcolare il campo scatterato.

\underline{L} \circ I(\underline{r})=f(\underline{r}) \Longrightarrow I(\underline{r})=\underline{L}^{-1} \circ f(\underline{r})

Metodo numerico

Questo è tipicamente impossibile da fare a mano e viene fatto sfruttando il calcolatore. Per poter essere elaborato dal calcolatore deve essere ricondotto ad un calcolo matriciale, facilmente implementabile. È quindi necessario discretizzarlo e lo si fa cercando la funzione incognita su una base di funzioni note e scrivendo la soluzione come loro combinazione.

L \circ \sum_{n=1}^{N} I_{n} i_{n}(\underline{r}) \longrightarrow \sum_{n=1}^{N} I L \circ i_{n} \approx \underline{f}

Per cercare la soluzione alle N equazioni in N incognite si seleziona un altro set di equazioni tali che siano una base ortonormale. Queste sono le funzioni peso e il loro nome deriva dal fatto che vengono utilizzare per testare l funzione incognita:

\forall m \quad\left\langle\underline{w}_{m}, \sum_{n=1}^{N} I_{n} L \circ i_{n}\right\rangle=\left\langle\underline{w}_{m}, \underline{f}\right\rangle

Ci si è quindi ricondotti ad un sistema algebrico dove la matrice del sistema prende il nome di matrice di impedenza generalizzata.

{\left[\begin{array}{c}
Z_{m n}
\end{array}\right]}_{N \times N} \underbrace{\left[\begin{array}{c}
I_{1} \\
\vdots \\
I_{n}
\end{array}\right]}_{N \times 1}=\underbrace{\left[\begin{array}{c}
V_{1} \\
\vdots \\
V_{n}
\end{array}\right]}_{N \times 1}\longrightarrow [I]={\color{red}{[Z]^{-1}}}[V]

Analisi in Matlab

Utilizzando l’Antenna Toolbox è possibile progettare, analizzare e visualizzare antenne ed array di antenne. Questo toolbox per Matlab utilizza risolutori elettromagnetici tra cui il metodo dei momenti per calcolare impedenza, distribuzione di corrente, efficienza, pattern di radiazione sia in campo vicino che in campo lontano.

Il toolbox presenza un vasto catalogo di antenne ed array ma permette anche di costruire particolari antenne (tramite tool dedicati) e di importare strutture STL. Si progettano facilmente antenne planari, anche con geometrie complesse. Inoltre è possibile migliorare la larghezza di banda dell’antenna, costruire reti di corrispondenza e ottimizzare le prestazioni sfruttando tecniche di Machine Learning integrate nel tool.

Applicazioni

Riferimenti

• Wireless Electromagnetic Technologies – Ingegneria medica – Tor Vergata
• Antenna Design – Balanis
• Method of moments – Wikipedia
• Antenna ToolBox – MathWorks
• A review on Computational Electromagnetics Methods – Sumithra