Riflessi fisiologici e sistemi di controllo

I riflessi fisiologici sono alla base della sopravvivenza dell’organismo. Tali riflessi permettono, in maniera del tutto involontaria, di mantenere l’omeostasi.

Variazioni delle variabili ambientali o la comparsa di un nuovo segnale inducono una risposta riflessa, da parte dei centri di integrazione, volta a ristabilire l’equilibrio o a evitare situazioni di pericolo.

Nel seguente report vengono applicate le tecniche tipiche dei controlli automatici all’analisi del riflesso da stiramento muscolare e del riflesso pupillare, analizzandone il comportamento e la stabilità. Il riflesso da stiramento viene indotto da un eccessivo allungamento del muscolo e viene quindi indotta una contrazione autonoma. Il riflesso pupillare prevede una variazione del diametro pupillare in risposta ad una variazione della luce ambientale.

Tali riflessi sono caratterizzati da sistemi e vie differenti ma entrambi possono andare in instabilità qualora, per differenti patologie, il guadagno del sistema aumenti eccessivamente.

Il seguente articolo è un estratto di un progetto realizzato per il corso di Modellazione e Simulazione di Sistemi Fisiologici. Tenuto per Ingegneria Medica presso l’Università degli Studi di Roma Tor Vergata.

Indice

Introduzione

Un riflesso fisiologico è una risposta involontaria ad un stimolo, mediata da elementi del sistema nervoso. Generalmente lo scopo dei riflessi fisiologici è quello di mantenere l’omeostasi dell’organismo ed evitare situazioni di pericolo, mantenendo al sicuro l’organismo stesso.

Generalmente, per parlare di riflesso, si parte dallo stimolo caratterizzandolo al cambiamento di una variabile ambientale o alla variazione di un particolare segnale. Tale stimolo viene sentito da un sensore, in fisiologia un recettore sensoriale, che si occupa di monitorare l’ambiente interno ed esterno all’organismo.

Dal recettore parte la via afferente verso i centri di integrazione dove lo stimolo viene elaborato, in maniera più o meno complessa, elaborandone una risposta che, tramite una via efferente, verrà trasmessa all’effettore.

Tra i riflessi fisiologici dell’organismo umano spiccano il riflesso da stiramento muscolare e il riflesso pupillare. Tali riflessi si differenziano nello stimolo inducente ma sono accomunati da avere come risposta la contrazione o il rilassamento di fibre muscolari.

Si possono studiare tali riflessi modellandoli e analizzandoli con le teorie dei controlli automatici per osservarne come variazioni nel guadagno del riflesso , ad esempio dovute a patologie fortemente debilitanti, portano ad instabilità in entrambi i sistemi.

Nel seguente report vengono propositi due differenti modelli e la loro implementazione nell’ambiente Simulink, analizzandone il comportamento.

Background

Un sistema di controllo è un apparato che consente di manipolare il comportamento del sistema a controllare in relazione ad un’evoluzione temporale delle grandezze di ingresso. Ovvero, un insieme di componenti interconnessi che lavorano per raggiungere una determinata risposta anche in presenza di stimoli esterni [1].

Si parla di regolazione, o controllo semplice, quando si richiede che l’uscita rimanga costante al variare dell’ingresso. Ove possibile si utilizzano sistemi di controllo ad anello chiuso dove si identifica anche il blocco di retroazione che genera un segnale proporzione al valore della grandezza controllata, riportandolo in ingresso al controllore. All’interno degli organismi biologici si trovano diversi sistemi di controllo, più o meno complessi, alcuni locali e altri diffusi su tutto l’organismo, volti a mantenere l’omeostasi dell’organismo.

Il termine omeostasi fu introdotto nel 1865 da Claude Bernard per rappresentare come l’organismo cercasse di mantenere costante l’ambiente interno del corpo [2]. Il termine fu poi coniato da Walter Bradford Cannon, ampliandone il significato e introducendo il fatto che l’omeostasi non è uno stato statico stazionario ma è un proprio un continuo evolversi di stati di equilibrio e di condizioni che possono continuamente variare [3]. Questo è dovuto all’elevata complessità dei sistemi di controllo fisiologici che coinvolgono sicuramente il sistema nervoso ma anche i singoli organi.

Quindi, l’estensione del concetto di omeostasi può essere visto come l’oscillazione nel tempo intorno ad un valore medio caratteristico di ogni variabile fisiologica. Tale oscillazione nel tempo può essere riferita a secondi, minuti, giorni, ore o anni a secondi di quale parametro si considera. Tuttavia, trascorriamo la maggior parte del tempo oscillando tra un valore massimo e minimo, attorno al valore medio, in un range considerato normale. Tale range è proprio ciò che viene definito omeostasi [4].

Riflesso neuromuscolare

Quando un muscolo intero viene stirato passivamente le fibre del fuso neuromuscolare si stirano e aumentano la frequenza di scarica nelle fibre nervose afferenti. Le loro terminazioni sensoriali, che terminano sulle fibre intrafusali stirate, sono tali per cui il neurone afferente stabilisce contatti sinaptici direttamente sul motoneurone 𝛼 che innerva le fibre extrafusali dello stesso muscolo. L’attivazione di questo contatto sinaptico determina la contrazione del muscolo che risultava eccessivamente stirato.

Questo riflesso miotatico funge da meccanismo locale a feedback negativo che permette di opporsi ad ogni variazione passiva della lunghezza muscolare, così da mantenere la lunghezza di stiramento ottimale. Ne sono esempi il riflesso rotuleo o il riflesso da stiramento nel braccio, entrambi usati anche come test clinico di routine per valutare il sistema nervoso. Tali riflessi possono essere assenti o depressi a causa di perdite di input eccitatori dai livelli superiori o per perdite di input inibitori ai motoneuroni dai livelli encefalici superiori [5].

Questo riflesso coinvolge il muscolo stesso, il fuso neuromuscolare e i motoneuroni. Tali partecipanti possono essere rivisti come un sistema di controllo. Concentrandoci sull’arto superiore è possibile vedere il centro del riflesso nel midollo spinale, dove avviene la sinapsi tra le vie afferenti e i motoneuroni 𝛼 per regolare il muscolo a seconda del disturbo indotto dal carico.

Affinché sia possibile analizzare i singoli sistemi è necessario adottare un modello matematico descrittivo. Partendo dalla descrizione geometrica in fig. 2 il sistema è descritto dalla seguente equazione:

\begin{equation} M_{x}(t)-M(t)=J \ddot{\theta} \end{equation}

Modello di muscolo

Viene considerato il modello di muscolo di Hill [6]. Tale modello, a parametri concentrati, considera il muscolo come la serie di due zone. La prima zona è data da un parallelo di una coppia motrice (forza muscolare) e uno smorzamento, ed è a sua volta in serie ad una rigidezza elastica (fig. 1a). Mentre lo spostamento angolare sarà la somma dei due blocchi, la coppia risultante sarà uguale nel parallelo:

\begin{equation} \begin{gathered} M(t)=K\left(\theta-\theta_{1}\right) \\ M(t)=M_{0}(t)+B \dot{\theta}_{1} \end{gathered} \end{equation}

Quindi, derivando la prima e sostituendo 𝜃1 nella seconda, può essere descritto dinamicamente dalla seguente equazione:

\begin{equation} M_{x}(t)-M_{0}(t)=\frac{B J}{K} \dot {\ddot{\theta}}(t)+J \ddot{\theta}(t)+B \dot{\theta}(t) \end{equation}

E, nel dominio di Laplace, da:

\begin{equation} M_{x}(s)-M_{0}(s)=s\left(\frac{B J}{k} s^{2}+J s+B\right) \theta(s) \end{equation}

Fuso neuromuscolare

Per il fuso muscolare viene adottare il modello di Soechting [7] dove il fuso viene differenziato tra la parte interna, del nucleo, e la parte polare. Si onsidera la serie di una zona data dal parallelo di una rigidezza elastica e uno smorzatore viscoso con una seconda rigidezza elastica (fig. 1c). La variabile di interesse è sempre la coordinata angolare e valgono le seguenti relazioni:

\begin{equation} \begin{aligned} &M_{s}(t)=K_{s s}\left(\theta-\theta_{2}\right) \\ &M_{s}(t)=K_{s p} \theta_{2}+B_{s} \dot{\theta}_{2} \end{aligned} \end{equation}

FIG. 1: Modello muscolare di Hill (a); relazione tra muscolo e fuso neuromuscolare (b); modello di fuso neuromuscolare di Soechting (c) dove si distinguono le rigidezze polari 𝐾𝑠𝑝 e del nucleo 𝐾𝑠𝑠. — **FIG. 1**: Modello muscolare di Hill (a); relazione tra muscolo e fuso neuromuscolare (b); modello di fuso neuromuscolare di Soechting (c) dove si distinguono le rigidezze polari 𝐾𝑠𝑝 e del nucleo 𝐾𝑠𝑠.

Riflesso

Per il riflesso sappiamo che conta quanto accade a livello del fuso, ovvero avremo la risposta legata all’allungamento per il tramite di un certo guadagno:

\begin{equation} M_{0}(t)=\beta\left(\theta-\theta_{2}\right) \end{equation}

Da cui si trova l’equazione del sistema:

\begin{equation} \dot{M}_{0}(t)+\frac{M_{0}(t)}{\tau}=\beta\left(\dot{\theta}\left(t-T_{D}\right)+\frac{\theta\left(t-T_{D}\right)}{\tau \eta}\right) \end{equation}

Dove i due parametri, funzioni delle costanti concentrate, sono:

\begin{equation} \tau=\frac{B_{s}}{K_{s s}+K_{s p}} \quad \text { e } \eta=\frac{K_{s s}+K_{s p}}{K_{s p}} \end{equation}

FIG. 2: Rappresentazione schematica del test diagnostico per il riflesso da stiramento del braccio (a). Il carico viene applicato tramite una carrucola e va stimolare i recettori del fuso neuromuscolare che a loro volta vanno a stimolare i percorsi delle vie riflesse all’interno del canale spinale; gradi di libertà del sistema braccio-avambraccio (b) dove la coppia è esercitata dal muscolo — **FIG. 2**: Rappresentazione schematica del test diagnostico per il riflesso da stiramento del braccio (a). Il carico viene applicato tramite una carrucola e va stimolare i recettori del fuso neuromuscolare che a loro volta vanno a stimolare i percorsi delle vie riflesse all’interno del canale spinale; gradi di libertà del sistema braccio-avambraccio (b) dove la coppia è esercitata dal muscolo

Passando nel dominio di Laplace possiamo ricavare la coppia agente come:

\begin{equation} M_{o}(s)=\beta\left(\frac{s \tau+s / \eta}{s \tau+s}\right) e^{-s T_{D}} \theta(s) \end{equation}

Per l’implementazione in Simulink vengono considerati dei parametri fisiologici noti in letteratura [8, 9], in Tab. 1 . Tale sistema può essere rappresentato in un diagramma a blocchi, tipico dei controlli automatici, raffigurato in fig. 3.

Parametro	Valore
B	2 [Nms]
J	0.1 [kg m^2]
Td	0.02 [s]
beta	100
eta	5
k	50 [Nm]
tau	1 / 300 [s]

TAB. 1: Parametri del sistema descrittivo del riflesso neuromuscolare

Riflesso fotomotore

Un altro riflesso di grande interesse clinico è il riflesso pupillare, noto anche come riflesso fotomotore. Tale riflesso controlla il diametro della pupilla in risposta all’intensità della luce che arriva alla retina. Il nervo ottico costituisce la via afferente in quanto percepisce la luce in ingresso, tramite le cellule gangliari della retina. L’informazione raggiunge il nucleo pretettale nel mesencefalo superiore e poi il nucleo di Edinger-Westphal. Da qui si dipartono i nervi oculomotori fino ai gangli ciliari e all’invervazione del muscolo costrittore della pupilla [10].

FIG. 4: Lo stroma dell’iride contiene uno strato di tessuto connettivo ricco di cellule muscolare lisce (a). Uno strato, a forma di anello, forma il muscolo costrittore, o sfintere pupillare, mentre nella faccia posteriore è presente il muscolo dilatatore della pupilla con le fibre disposte radialmente. Il sistema di controllo del riflesso pupillare (b) volto a restringere e dilatare la pupilla, tramite le vie superiori, a seconda del flusso luminoso incidente sulla retina — **FIG. 4**: Lo stroma dell’iride contiene uno strato di tessuto connettivo ricco di cellule muscolare lisce (a). Uno strato, a forma di anello, forma il muscolo costrittore, o sfintere pupillare, mentre nella faccia posteriore è presente il muscolo dilatatore della pupilla con le fibre disposte radialmente. Il sistema di controllo del riflesso pupillare (b) volto a restringere e dilatare la pupilla, tramite le vie superiori, a seconda del flusso luminoso incidente sulla retina

In condizioni fisiologiche, le pupille rispondono entrambe in maniera identica. Il confronto delle risposte asimmetriche permette di valutare una lesione. Ad esempio, una risposta diretta in una pupilla senza risposta consensuale nell’altra indica un possibile problema nella connessione motoria della seconda. Oppure, è possibile avere perdite del riflesso diretto mentre rimane attiva la risposta consensuale.

Modello di Stark

Per l’implementazione viene considerato il modello di Stark [11].

**FIG. 5**: Diagramma a blocchi del riflesso pupillare linearizzato

FIG. 6: Generico sistema a feedback negativo dove sono presenti la funzione di trasferimento diretta 𝐺(𝑠) e la retroazione 𝐻(𝑠) che riporta l’uscita in ingresso con segno invertito — **FIG. 6**: Generico sistema a feedback negativo dove sono presenti la funzione di trasferimento diretta 𝐺(𝑠) e la retroazione 𝐻(𝑠) che riporta l’uscita in ingresso con segno invertito

Tale modello interpreta il flusso di luce come l’intensità luminosa agente sull’area della pupilla e l’obiettivo del controllore (riflesso pupillare) è proprio quello di mantenere tale flusso costante. Se varia il flusso il sistema nervoso si attiva per variare l’area della pupilla. Tale modello contiene molte non linearità ma, linerizzandolo intorno al punto di lavoro, permette di descrivere adeguatamente la risposta fisiologica [8]. Il diagramma a blocchi del sistema è presente in fig. 4. Si considera quindi un sistema LTI con una funzione di trasferimento del terzo ordine in serie ad un ritardo con costante di tempo 𝜏. Tale sistema è stato descritto da Stark in seguito ad un’accurato fitting dei dati sperimentali.

Ovvero la funzione di trasferimento di anello:

\begin{equation} H(s)=\frac{K e^{-s D}}{(1+\tau s)^{3}} \end{equation}

Dove il guadagno è dato dal prodotto del guadagno della funzione di trasferimento del cambiamento d’area e del fattore linearizzato di intensità luminosa (rispetto al quale si è linearizzato il modello), ovvero:

\begin{equation} K=I_{\mathrm{ref}} K_{1} \end{equation}

I parametri del sistema sono presenti in Tab. 2.

Parametro	Valore
K	0.16
D	0.18 [s]
tau	0.1 [s]

TAB. 2: Parametri del sistema linearizzato descrittivo del riflesso pupillare

Stabilità

Per un sistema dinamico uno stato di equilibrio è uno stato in cui il sistema rimane indefinitamente, in assenza di perturbazioni. Se tale stato di equilibrio è stabile (asintoticamente), ciò permette al sistema di rimanerci effettivamente.

Per un sistema lineare si può parlare di stabilità del sistema stesso (e non solo del punto di equilibrio) ed in particolare risulta stabile qualora gli autovalori della matrice dinamica del sistema sono a parte reale negativa [12]. Tale definizione matematica può essere particolarizzata in diversi criteri per analizzare la stabilità del singolo sistema. Considerando un generico sistema a retroazione di equazione caratteristica:

\begin{equation} 1+G(s) H(s)=0 \end{equation}

Dove 𝐺(𝑠) è la funzione di trasferimento diretta e 𝐻(𝑠) la funzione di trasferimento di retroazione e 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) la funzione di trasferimento di anello (fig. 6). Quindi tale per cui:

\begin{equation} Y(1+G H)=G X \end{equation}

E allora la funzione di trasferimento:

\begin{equation} W=\frac{Y}{X}=\frac{G}{1+G H} \end{equation}

Considerando che 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) è una funzione razionale fratta con guadagno 𝐾 (positivo per sistemi a retroazione negativa), le radici di tale equazione descrivono una curva nel piano 𝑠 che prende il nome di luogo delle radici.

\begin{equation} G(s) H(s)=K \frac{N(s)}{D(s)} \end{equation}

Per avere stabilità si richiede che tutti i poli della funzione di trasferimento siano nella parte sinistra del piano, ovvero a parte reale negativa [1]. Tali poli corrispondono agli zeri di eq. (12) ovvero a studiare l’andamento:

\begin{equation} D(s)+K N(s)=0 \end{equation}

Simulink

Simulink [13] è un software sviluppato da MathWorks che fornisce un approccio grafico basato su un ambiente di modellazione che permette all’utente di convertire il problema in una rete di blocchi di funzioni matematiche. Inoltre, tale ambiente permette l’integrazione con il linguaggio Matlab e le relative funzioni di programmazione.

Tramite Simulink è possibile implementare i modelli considerati aggiungendo diverse features, quali delle dashboard per interagire con i parametri del sistema, utili ad analizzarne il comportamento e la stabilità.

FIG. 7: Implementazione Simulink del modello di riflesso muscolare. Il riflesso è implementato nella parte sinistra, le dashboard in basso a sinistra servono a variare i parametri Td e beta visualizzandone i valori. In particolare, i display diventano verdi/rossi a seconda che il guadagno sia tale da rendere il sistema stabile o meno. La parte di destra serve a salvare i risultati facendo in modo che nel nome del file siano presenti i valori dei parametri modificati. — **FIG. 7**: Implementazione Simulink del modello di riflesso muscolare. Il riflesso è implementato nella parte sinistra, le dashboard in basso a sinistra servono a variare i parametri Td e beta visualizzandone i valori. In particolare, i display diventano verdi/rossi a seconda che il guadagno sia tale da rendere il sistema stabile o meno. La parte di destra serve a salvare i risultati facendo in modo che nel nome del file siano presenti i valori dei parametri modificati.

Risultati

Tali modelli sono stati implementati all’interno di Simulink analizzandone la stabilità e l’influenza dei diversi coefficienti, in particolare del guadagno.

FIG. 8: Andamento della risposta al gradino del sistema del riflesso da stiramento. Il sistema, dopo una breve oscillazione iniziale, si porta verso lo stato di equilibrio rimanendo stabile e costante. L’ampiezza del gradino è stata ridotta ed il grafico è utile ad identificare l’instante iniziale. — **FIG. 8**: Andamento della risposta al gradino del sistema del riflesso da stiramento. Il sistema, dopo una breve oscillazione iniziale, si porta verso lo stato di equilibrio rimanendo stabile e costante. L’ampiezza del gradino è stata ridotta ed il grafico è utile ad identificare l’instante iniziale.