Analisi agli elementi finiti volta a caratterizzare le proprietà meccaniche di una struttura lattiginosa a giroide. La struttura lattiginosa a giroide è stata già presentata nell’articolo “Giroide e superfici di minimo al CAD“.

Il seguente articolo è un estratto di un progetto realizzato per il corso di Tecniche Avanzate di Progettazione di Dispositivi Protesi. Tenuto per Ingegneria Medica presso l’Università degli Studi di Roma Tor Vergata

Autori: Mastrofini Alessandro & Muscedere Erica

Obiettivi dell’analisi

La seguente analisi punta ad identificare la rigidezza complessiva di una cella cubica di lato 2 celle elementari caratterizzate da una geometria a giroide. La rigidezza viene calcolata in funzione delle spessore della superficie del giroide nonché in funzione della densità relativa della cella.

Metodi

Vengono fatte diverse considerazioni per impostare una sequenza di simulazioni tali da garantire risultati affidabili con un costo computazionale contenuto.
Vengono considerati elementi di tipo thin shell. Il rapporto tra lo spessore 𝑡 e una lunghezza caratteristica della cella si trova nel range:

\begin{equation}
\frac{t}{L} \in[0.01 \div 0.05]
\end{equation}

Segue una scelta di una mesh fine con un totale di 17078 elementi.

mesh giroide
Fig. 1

Per realizzare una simulazione tale da tenere conto del reale comportamento di una prova di compressione viene applicato uno spostamento e misurata la forza risultate. Siamo interessati a caratterizzarne la rigidezza. Questo approccio permette anche di assicurarsi che tutti i punti della faccia superiore (sottoposta allo spostamento) si spostino uniformemente, simulando al meglio una prova di compressione. Un approccio alle tensioni invece si troverebbe invece a fare i conti con il problema di garantire l’uniformità degli spostamenti oppure, usando elementi spider, con la singolarità causata dal punto singolo di un’estremità (fig. 2a).
La faccia inferiore viene vincolata con un vincolo di tipo carrello tale da permette solamente le traslazioni sul piano perpendicolare all’asse di compressione (fig. 2b)

Fig. 2: Applicazione delle forze con elemento spider (è visibile anche il nodo sul quale è impossibile applicare la forza) (a); vincolo di tipo carrello sulla faccia inferiore (blocca solamente la traslazione normale al piano di base)(b)

La cella ha dimensioni massime 𝐿 = 20 mm e vengono considerati cinque spessori diversi

\begin{equation}
t=\{0.2,0.4,0.6,0.8,1.0\} \mathrm{mm}
\end{equation}

Ovvero la porosità relativa:

\begin{equation}
\frac{\rho}{\rho_{s}}=\{6.44,12.89,19.33,25.78,32.23\} \%
\end{equation}

Applicando uno spostamento e misurata la forza è possibile caratterizzare la rigidezza:

\begin{equation}
K=\frac{F}{\Delta x}
\end{equation}

I risultati sono presenti in fig. 5b.

Tensioni limite nel giroide

Per caratterizzare la tensione di snervamento è stato utilizzato un approccio differente. É stata effettuata un’analisi applicando un carico 𝐹 = 1 N sulla superficie superiore misurandone spostamenti e stato tensionale. Questo approccio è costretto a scontrarsi con i limiti del software che non consente l’appli- cazione delle forze (distribuendone il carico totale tramite elementi spider, fig. 2a) su elementi di bordo di tipo diversi, spigoli e vertici. Rimane quindi escluso il punto singolo estremale. Nella stima della rigidezza questo approccio si ottiene un errore massimo del 11% rispetto l’approccio agli spostamenti. Per la stima della rigidezza è stato utilizzato l’approccio agli spostamenti poiché fornisce risultati più coerenti.

Misurando invece lo stato tensionale e applicando il criterio di Von Mises si ottiene una stima della tensione massima all’interno della struttura. Facendo il rapporto tra la massima tensione raggiungibile e quella applicata ( 𝐹/A ) si riesce a calcolare quanto verrà amplificata. Quindi è possibile identificare la tensione di snervamento della struttura come la tensione che porterà al suo interno uno stato tensionale massimo tale da far superare al materiale il punto di snervamento.

I risultati sono riportati in fig. 3b e table 2.

stifness
weight stifness ratio
Fig. 3: Andamento della rigidezza al variare dello spessore (a) e del rapporto peso/rigidezza (b).

Risultati

Dall’analisi della rigidezza si è cercato un legame con il modello di Gibson-Ashby.
Alla luce dei dati a disposizione, non è presente ne un modello completamente lineare (celle dominate da sforzi di compressione/trazione) ne un andamento quadratico (celle dominate da momenti flettenti), quindi si è cercato un fitting ottimo ai minimi quadrati secondo la legge generica:

\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{K}{K_{s}} &=C_{1}\left(\frac{\rho}{\rho_{s}}\right)^{n} \\
\frac{\sigma}{\sigma_{0 S}} &=C_{2}\left(\frac{\rho}{\rho_{s}}\right)^{m}
\end{aligned}
\end{equation}

Dove, la rigidezza 𝐾𝑠 𝐸𝐴/L e fa riferimento al cubo pieno e il termine 𝜌/𝜌s rappresenta la porosità. Per i differenti spessori:

\begin{equation}
\frac{\rho}{\rho_{s}}=\{6.44 \%, 12.89 \%, 19.33 \%, 25.78 \%, 32.23 \%\}
\end{equation}

Cercando il fitting ottimo ai minimi quadrati si ottengono:

  • C1 = 0.414
  • n = 1.386

Tale risultato è riportato in fig. 5a.

Per i dati della tensione di snervamento si ottiene:

  • C2 = 0.222
  • m = 1
Fig. 4: Diagramma a falsi colori della deformazione (a) e delle tensioni secondo il criterio di Von Mises (b) nel caso di applicazione di una forza verticale
con elementi spider

Sottolineiamo anche che i dati sulle tensioni di snervamento risultano molto vicini tra loro e molto difficili da fittare con un andamento di questo tipo. Il fitting con un modello di Gibson-Ashby presenta l’errore minore nel caso lineare ma rimane comunque molto alto per poter considerare il modello rappresentativo dei dati sperimentali (fig. 5b).

Fitting nel modello di GIbson-Ashby

Per il rapporto tra le rigidezza il modello mostra un andamento compreso tra il caso lineare e quello quadratico. Per il coefficiente 𝐶1 è possibile imporra la dipendenza di ( 𝜌/𝜌) e ottenere il fitting:

  • 𝑛 = 1.386, miglior fitting con RMSE = 2.14 ⋅ 10−4
  • 𝑛 = 1, fitting lineare, RMSE = 2.28 ⋅ 10−2
  • 𝑛 = 2, fitting quadratico, RMSE = 3.41 ⋅ 10−2
Fig. 5: Confronto tra la porosità e i rapporti di rigidezza (a) e tensione di snervamento (b). È presente anche il fitting del modello di Gisbon-Ashby che trova riscontro nel caso della rigidezza con 𝑛 = 1.386 (a) ma non nel caso della tensione di snervamento (b). Nel caso della tensione di snervamento il fitting risulta migliore utilizzando una retta o una parabola, limitata al dominio di riferimento.

Per il coefficiente 𝐶2 la stima è più complessa a causa della poca differenza numerica tra i dati a disposizione. Tuttavia, è possibile anche ottenere un buon fitting (RMSE 10−3) con una retta o una parabola, valide solo nell’intervallo di porosità considerato e tali da non rispettare il modello di Gibson-Ashby (fig. 5b)
In particolare,

  • 𝑚 = 1, cella dominata da sforzi di compressione, RMSE = 2.2 ⋅ 10−2
  • 𝑚 = 3∕2, cella dominata da momenti, RMSE = 2.9 ⋅ 10−2

Conclusioni

Alla luce dei seguenti dati la cella sembra avere un andamento più simile ad una cella dominata da sforzi di compressione/tensione.
Per la rigidezza i dati trovano riscontro con quanto ci si aspetterebbe.
Inoltre, le celle considerate aventi lato di 2 cm, resisterebbero a carichi di 30 ÷ 170 N, a seconda dello spessore considerato, prima di arrivare a snervamento.

Osservando anche le informazioni ottenute dall’analisi di buckling è possibile vedere come sia la cella di spessore 𝑡 = 0.2 mm sia quella con 𝑡 = 1 mm cederanno prima per raggiungimento del limite di snervamento che per instabilità. Complice di questo anche la particolare geometria del giroide che tende a ripartire le tensioni uniformemente a meno di un leggero aumento nei punti di contatto tra gli ottanti della cella elementare. Questo punto presenta un leggero accumulo di tensioni. Tale accumulo potrebbe anche essere dovuto ad una minore accuratezza e precisione del modello di partenza in quell’intorno.

È bene precisare anche che l’analisi è stata effettuata considerando come materiale ABS per la stampa 3D. Questo comporterebbe che la struttura finale potrebbe cedere prima del limite stimato a causa dell’anisotropia risultante dalle tecniche di stampa 3D. La proprietà meccaniche, al più trasversalmente isotrope nel piano di stampa, delle strutture stampate potrebbero portare ad una resistenza sovrastimata nei punti dove si accumulano le tensioni.

Fenomeno del buckling nel giroide

L’analisi di buckling è stata effettuata in due differenti modalità. I risultati sono riportati in table 1. Sono stati analizzati i due spessori limiti, 𝑡 = 0.2 mm e 𝑡 = 1 mm. Una prima analisi è stata condotta applicando un carico verticale tramite elementi spider lasciando la superficie inferiore vincolata con carrelli (come descritto precedentemente). I risultati mostrano, diversamente da come ci si aspetterebbe, un limite maggior per la cella di spessore minore.

Tuttavia, analizzando la deformazione e i modi di buckling, questa analisi mostra come la struttura tendesse ad avvitarsi. Questo fenomeno non è molto rappresentativo di cioò che succederebbe ad una cella facente parte di una struttura cellulare sottoposta ad un carico di compressione. Dunque, è stata effettuata una seconda analisi vincolando l’azione del carico sull’asse perpendicolare al piano di base, ovvero impedendo ai punti caricati di ruotare rispetto al piano di compressione. I risultati mostrano un fattore di carico molto più elevato rispetto al carico libero. Inoltre, la cella a spessore maggiore mostra un limite più elevato.

Tipo di caricoSpessore 𝑡 [mm]Load factor
Libero0.212.70
Libero19.24
Vincolato0.2267.28
Vincolato17464.30
Tab 1: Risultati dell’analisi di buckling

È bene sottolineare che, nel caso di carico non vincolato le celle cederebbero per instabilità. Nel caso in cui vengono considerati i vincoli sulla superficie superiore, le celle cederebbero entrambe prima per il superamento del limite elastico.

Fig. 6: Risultati dell’analisi di buckling. Carico vincolato con 𝑡 = 0.2 mm (a) e 𝑡 = 1 mm (b); carico non vincolato con 𝑡 = 0.2 mm (c) e 𝑡 = 1 mm (d).

Ulteriori informazioni sulle simulazioni 

Vengono riportati i risultati per le simulazioni citate.

Spessore 𝑡 [mm]Rigidezza 𝐾 [N/mm]𝜎𝑦 [Mpa]Volume [mm3]𝜌𝜌𝑠 %𝐾𝐾𝑠 (10−3)𝜎0∕𝜎0𝑆 (10−3)
360.51.49515.76.449.0149.68
0.4976.41.501031.412.8924.4050.28
0.61700.81.531547.119.3342.5251.00
0.82523.81.582062.825.7863.0952.71
1.03449.71.652578.632.2386.2455.03
Tab. 2: Risultati FEA

Riferimenti