Gli ultimi sviluppi nella Computer Aided Engineering, grazie ai notevoli progressi che i software di simulazione hanno fatto in termini di velocità computazionale e di fenomeni che possono essere accuratamente analizzati, offrono grandi possibilità di inventiva. Offrono anche grandi possibilità per chi vuole raggiungere o ha già esperienza nel campo della progettazione di antenne. In questo articolo, a fronte di una vasta scelta, vengono selezionati alcuni toolbox Matlab dedicati alla progettazione di antenne per realizzare la struttura di un’antenna patch folded ad alimentazione coassiale combinata con un substrato dielettrico a basse prestazioni (FR4). Lo scopo principale è quello di ottenere un’antenna risonante a 2,1 GHz e con un’impedenza di ingresso adattata a 50 Ohm. Successivamente, l’antenna viene inserita in una struttura più ampia, ovvero si implementa un array lineare di cinque antenne. La sintesi dell’array di Tchebyshev è stata utilizzata per ottenere le prestazioni desiderate. In particolare, si è stato analizzato il beamsteering in broadside e a 45° fuori dalla direzione di puntamento per mezzo del guadagno complessivo e del comportamento del campo elettrico e magnetico vicino e lontano dall’array. Tutti i modelli matematici utilizzati insieme al feedback software rappresentano la struttura di un processo complessivo di sviluppo, ottimizzazione e analisi che sono stati eseguiti con molta attenzione e illustrati nei paragrafi seguenti.

Autori

  • Blasi Luca
  • Mastrofini Alessandro
  • Mucenica Stefan Leonard

Wireless Electromagnetic Technologies 
Docente: Marrocco Gaetano 
Università di Roma Tor Vergata 
2022
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Development and Analysis of an Array of Folded Patch Antennas Using Matlab


Introduzione

Tutti i parametri necessari per generare la struttura dell’array sono mostrati in questo lavoro insieme ad alcune considerazioni sulle implicazioni dell’esecuzione di alcune simulazioni e dei risultati che ne derivano. L’array di antenne patch piegate è stato progettato interamente in Matlab. Sono emersi alcuni difetti negli strumenti utilizzati in termini di mancanza di piena compatibilità tra loro e alcune limitazioni nella creazione e nell’analisi dell’esatta struttura destinata a questo progetto. Ad esempio, la singola antenna patch ripiegata non poteva essere utilizzata come elemento dell’array nell’Antenna Toolbox (che avrebbe consentito di studiare il comportamento generale dell’array in termini di guadagno e campi elettromagnetici), mentre il Phased Sensor Array Analyzer ha reso possibile la creazione del struttura dell’array ma non poteva dare risultati che descrivono il campo elettromagnetico. Questa situazione paradossale ha reso necessario raggiungere un compromesso utilizzando una struttura simile a quella dell’antenna patch piegata: uno stack di PCB che cortocircuitava la patch con una serie di piccoli pin cilindrici invece di utilizzare una parete rettangolare di metallo come nella raccomandazione di progettazione originale. Alcuni risultati si potrebbero ottenere sia con la struttura originaria che con la sua approssimazione: in quei casi diverse comparazioni hanno mostrato che il loro comportamento in radiazione è molto simile, quindi l’approssimazione rappresenta un compromesso accettabile.

Partendo dalla modellazione teorica basata su formulazioni matematiche [1], un insieme di parametri relativi alla singola antenna (il coefficiente di riflessione, la dimensione della patch e del terreno, lo spessore del substrato, la posizione di alimentazione) sono stati ottimizzati a partire da un processo di raffinamento della mesh.

In genere, lo studio di un array di antenne inizia con la progettazione del fattore di array. Il fattore di array è il diagramma di radiazione di campo lontano a valori complessi ottenuto considerando gli elementi come sorgenti puntiformi. Il campo totale è influenzato sia dall’effetto di filtraggio angolare del fattore array (che non tiene conto della particolare struttura dell’elemento array, ma tenendo conto di informazioni come la disposizione spaziale e le correnti che circolano sugli elementi dell’array) sia dalla radiazione del singolo elemento. Questo dà un’idea di come il comportamento della singola antenna viene influenzato dalle altre antenne dell’array. Tutti gli elementi partecipano a alle interazioni reciproche, facendo emergere un determinato comportamento complessivo.

Successivamente sono state condotte diverse prove al fine di verificare che il comportamento complessivo dell’array fosse conforme ai requisiti di progetto. Alla fine del testo è disponibile un diagramma di flusso di tutte le fasi del progetto.

Progettazione del fattore di array Tchebyshev

In questa parte verrà progettato un fattore di array di Tchebyshev, la struttura specifica del singolo elemento dell’array viene per il momento ignorata. L’array è rappresentato da una distribuzione lineare di cinque elementi (𝑛𝑒𝑙 = 5), che si suppone siano uniformemente spaziati e con ampiezza non uniforme per la disposizione dei feed, che comunque risulterà simmetrica (a partire dall’elemento nel mezzo, situato nell’origine degli assi geometrici). Anche il “rapporto lmain lobe/side lobe” (𝑅) sarà una delle variabili di progettazione di input. Pertanto, le variabili di questa parte di progettazione sono l’interspaziatura degli elementi (𝑑𝑜𝑝𝑡, che deve essere ottimale in modo tale da ridurre al minimo il beamdiwidth), l’alimentazione della singola antenna (ognuno rappresentato da un 𝐶𝑖, con 𝑖 ∈ {− 2, −1, 0, 1, 2}, il 𝑖𝑡ℎ coefficiente di corrente – queste incognite sono in realtà solo tre e non cinque, a causa dell’ipotesi della distribuzione dell’ampiezza simmetrica), la frequenza di risonanza operativa richiesta per la singola antenna (𝑓) e alcune altre grandezze ad esse correlate, come l’efficienza di tapering (𝜂𝑇 ) e la larghezza del fascio (𝐵𝑊fn). Inoltre, sarà discussa anche la differenza tra l’ampiezza del fascio dell’array di Tchebyshev (Uniform Spacing Non Uniform Amplitude case, shorten 𝑁𝑈𝐴) e quella di un array uniforme avente lo stesso numero di elementi e valore di interspaziatura ma una distribuzione di alimentazione di ampiezza uniforme (Uniform Spacing Uniform Amplitude , accorciare 𝑈𝐴. Le variabili di progettazione di input relative al fattore di array Tchebyshev (cioè 𝑛𝑒𝑙, 𝑅 e 𝑓) sono elencate nella tabella 1.

Table 1: Array factor input design variables
Table 1: Array factor input design variables

Table 2: Tchebyshev array design results
3
Table 2: Tchebyshev array design results
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Partendo dalla spaziatura ottimale tra gli elementi, richiede alcune variabili secondarie per essere valutate. Innanzitutto occorre calcolare un coefficiente (𝛾, dipendente da 𝑅 e indirettamente dal numero di elementi dell’array), legato alla lunghezza d’onda nello spazio libero (𝜆, come rapporto tra la velocità della luce nello spazio libero – 𝑐 – e la frequenza operativa 𝑓). Avendo tali quantità, si può calcolare 𝑑𝑜𝑝𝑡 tale da ridurre al minimo il 𝐵𝑊fn usando l’eq. (1) gruppo.

	\begin{gathered}
			d_{opt}\,{\leadsto}\,\min\{BW_{\operatorname{fn}}\}\\
			\\
			d_{opt}\,{=}\,\lambda\,\left[1\,-\,\frac{\arccos\left(\frac{1}{\gamma}\right)}{\pi}\right] \quad (1)\\ 
			\\
			\gamma\,{=}\,\cosh\left[\frac{1}{2N}\,\ln\left(R+\sqrt{R^2-1}\right)\right]
		\end{gathered}

Il passaggio successivo è la valutazione del fattore di array tramite il polinomio di Tchebyshev. L’approssimazione polinomiale di Tchebyshev al secondo ordine (𝑇2(𝑥)) è sufficiente per ottenere i coefficienti attuali, ricordando che è stata fatta un’ipotesi di distribuzione dell’ampiezza simmetrica. In questo caso i coefficienti attuali 𝐶𝑖 , 𝑖 ∈ {−2, −1, 0, 1, 2} seguono la regola 𝐶𝑖 = 𝐶−𝑖, quindi la loro rappresentazione simbolica può essere semplificata come segue: 𝐶𝑛 , 𝑛 ∈ {0, 1 , 2} (o solo 𝑛 = 0, 2). Poiché è stata utilizzata la variazione Riblet del modello di sintesi Dolph-Tchebyshev, la variabile di 𝑇2(𝑥) diventa 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 cos(𝑢) e la formulazione di 𝑑𝑜𝑝𝑡 ∈ (𝜆∕2, 𝜆] differisce dal modello standard. I coefficienti 𝑎 e 𝑏 sono relativi al valore massimo selezionato nel sottodominio di 𝑇2(𝑥) (la finestra dei lobi di radiazione visibili). Questo massimo, indicato ad esempio con 𝑥1, corrisponde al lobo principale in cui può essere convertito valutando il fattore dell’array |𝑇2(𝑥1)| (alcuni riferimenti aggiuntivi alle formule specifiche che devono essere utilizzate per calcolare si trovano in [1] e [6]). Detto questo, i coefficienti attuali possono essere estratto da 𝑇2(𝑥) (usando l’eq. (2)). L’efficienza di tapering si ottiene usando l’eq. (3).

Successivamente, vengono confrontati sia i casi di ampiezza non uniforme (array di Tchebyshev, 𝑁𝑈𝐴) che di ampiezza uniforme (𝑈𝐴). Il confronto mostra come il 𝐵𝑊fn nel caso 𝑈𝐴 (cioè 𝐵𝑊[𝑈𝐴] fn ) sia più stretto di quello del caso 𝑁𝑈𝐴 (cioè 𝐵𝑊[𝑁𝑈𝐴] fn ). Questo risultato (vedi eq. (4) e tabella 2) è generalmente efficace e il confronto è stato effettuato per dimostrare che questo particolare caso progettuale conferma la condizione generale.

Tutti i risultati numerici relativi alla progettazione dell’array di Tchebyshev sono raccolti nella tabella 2. Dopo aver calcolato queste quantità, è possibile fare alcune importanti considerazioni di progettazione sull’efficienza dell’array. È stato progettato un fattore di matrice di ampiezza non uniforme utilizzando la variazione Riblet del modello di sintesi di matrice di Dolph-Tchebyshev. Considerando il rapporto di alimentazione massimo/minimo:

r_{\max/\min}={C_{\max}\over C_{\min}}

più basso è 𝑟 max ∕ min, più efficiente è la distribuzione della corrente. In questo particolare progetto, l’esigenza era quella di trovare la 𝑑𝑜𝑝𝑡 tale da minimizzare la larghezza del fascio, partendo dalle variabili di progetto. Pertanto, il 𝑟max ∕ min è una diretta conseguenza dei coefficienti attuali e il suo valore ottimale non è stato ricercato in questo progetto. Comunque, per questo progetto, 𝑟max ∕ min ≅ 4,39 significa che se si verifica un danno dell’elemento con il livello di feed 𝐶max (cioè 𝐶0), la maggior parte dell’efficienza andrà persa. In ogni caso, l’efficienza del tapering mostra come non sarà possibile sfruttare il 21% dell’array in una situazione ideale, ricordando che questo modello di progettazione può essere individuato dalla circostanza reale in termini di errore di Tchebyshev (vedi [1 ]).

\begin{split}
		\begin{aligned}
			T_2\left[x=a+b\cos\,u\right]=\dots\quad\\ 
			=\,C_0\,+\,2\,C_1\,\cos\,u\,+\,C_2\cos\,2u\quad (2)\\ 
			=\,(2a^2+b^2-1)\,+\,4ab\,\cos\,u+b^2\,\cos\,2u\quad 
		\end{aligned}
	\end{split}\\
	\eta_T\,=\,\frac{1}{2N+1}\,\frac{||C_0+2C_1+2_2||^2}{C_0^2+2C_1^2+2C_2^2}
	\quad (3)
\begin{gathered}
		BW_{\operatorname{fn}}^{[UA]}\,{<}\,BW_{\operatorname{fn}}^{[NUA]}\\
		\\
		BW_{\operatorname{fn}}^{[NUA]}\,{=}\,2\frac{180}{\pi}\left[\frac{\pi}{2}-\arccos\left(\frac{\arccos\left(\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2N}-a\right)}{b}\right)}{k_0d}\right)\right]\quad (4)\\
		\\
		BW_{\operatorname{fn}}^{[UA]}\,{=}\,\frac{2\lambda}{N\,d}\,\frac{180}{\pi}
	\end{gathered}

Infine, in fig. 1. sono state tracciate due configurazioni polari e le corrispondenti rettangolari (nel piano di taglio azimutale e in quello di elevazione).

Progetto di un’antenna folded patch rettangolare

I componenti principali di un patch rettangolare piegato sono: il patch, il substrato (generalmente accessorio, ma utilizzato in questo progetto), il ground plane, il cortocircuito rettangolare tra il patch e il ground plane e il feed. Maggiori dettagli su di loro saranno presentati a breve. Prima di ciò, sono necessarie alcune altre considerazioni: questa antenna sarà l’elemento dell’array e sarà progettato partendo proprio da una PIFA (Planar Inverted F Antenna). Una PIFA generica realizzata con un substrato dielettrico è mostrato in fig. 2. Alla PIFA è imposta una condizione particolare, per cui la larghezza del tratto di cortocircuito rettangolare (𝑤𝑠𝑐 ) è uguale alla larghezza del patch (𝑊patch). Così la PIFA e l’antenna patch folded risulatano due strutture equivalenti (vedi eq. (5)). Questa osservazione sulla PIFA è necessaria perché generalmente la sua struttura non è equivalente a quella dell’antenna patch ripiegata a causa della possibile variabilità della larghezza di cortocircuito (𝑤𝑠𝑐 ), che non sempre soddisfa la condizione sopra imposta. Questa condizione su 𝑤𝑠𝑐 rappresenta una delle variabili di input del progetto PIFA, come la resistenza di input (𝑅𝑖𝑛), la frequenza di risonanza (𝑓) e le caratteristiche del substrato (vedi tabella 3). Una valutazione preliminare dei parametri della patch è stata realizzata basandosi su un insieme teorico di formule (vedi [1]).

Figure 1: Array factor polar, in azimuth (a) and elevation (c) cut, and rectangular in azimuth (b) and elevation (d) cut,
diagrams
Figure 1: Array factor polar, in azimuth (a) and elevation (c) cut, and rectangular in azimuth (b) and elevation (d) cut,
diagrams

Ecco perché le caratteristiche della PIFA, riportate in tabella 3, si distinguono tra pre-ottimale e post-ottimale (stessa cosa vale per la componente ground plane). Pertanto, in alcuni passaggi successivi verrà eseguito un processo di ottimizzazione di tutti questi e altri parametri. Il modello teorico fornisce un insieme provvisorio di risultati (che sarà poi adattato). In primo luogo, vengono calcolate la lunghezza e la larghezza del cerotto a partire dalla condizione imposta 𝑤𝑠𝑐 = 𝑊patch, la lunghezza d’onda e lo spessore del substrato (cioè 𝜆FR4 e ℎFR4) (eq. (6)). Poi, altri parametri, come la permittività effettiva 𝜀𝑒𝑓𝑓 e la lunghezza (𝐿𝑒𝑓𝑓 ) nell’eq. (7), la resistenza alle radiazioni (𝑅𝑟) nell’eq. (8), la larghezza del fascio di metà potenza nel taglio E (Θ𝐸) e il taglio H (Θ𝐻) nell’eq. (9) ed eventualmente la posizione del feed, definita da 𝓁feed nella direzione della lunghezza del patch rispetto al bordo libero (eq. (10)), sono state calcolate.

Ottimizzazione in Matlab con il Metodo dei Momenti

Figure 2: PIFA realized with a dielectric substrate
Figure 2: PIFA realized with a dielectric substrate
	W_{\operatorname{patch}}\,=\,w_{sc} \quad(5)
\begin{aligned}L_{\operatorname{patch}}\,+\,W_{\operatorname{patch}}\,-\,w_{sc}\,&{=}\,\frac{\lambda_{\operatorname{FR4}}}{4}\,+\,h_{\operatorname{FR4}}\quad (6)\\
	W_{\operatorname{patch}}\,&{=}\,\frac{\lambda}{2}\,\sqrt{\frac{2}{\varepsilon_{\operatorname{FR4}}\,+\,1}}\\
\end{aligned} 
\begin{aligned}
	\varepsilon_{eff}\,{=}\,\frac{\varepsilon_{\operatorname{FR4}}+1}{2}\,+\,\frac{\varepsilon_{\operatorname{FR4}}-1}{2}\,\left(1+12\frac{h_{\operatorname{FR4}}}{W_{\operatorname{patch}}}\right)^{-\frac{1}{2}}\\
	L_{eff}\,{=}\,\frac{\lambda_{\operatorname{FR4}}}{4}\\
	\Delta L{=}0.412\,h\,\left[\frac{(\varepsilon_{eff}+0.3)\,\left(\frac{W_{\operatorname{patch}}}{h_{\operatorname{FR4}}}+0.268\right)}{(\varepsilon_{eff}-0.258)\,\left(\frac{W_{\operatorname{patch}}}{h_{\operatorname{FR4}}}+0.8\right)}\right]\quad (7)\\
	L\,=\,L_{eff}-2\Delta L
\end{aligned}
R_r\,{=}\,\frac{120\,\lambda}{W_{\operatorname{patch}}}\,\left[1-\frac{1}{24}\,\left(2\pi\,\frac{h_{\operatorname{FR4}}}{\lambda}\right)^{2}\right]^{-1}\quad (8)
\begin{aligned}
	\Theta_E\,&{=}\,2\,\arccos\,\sqrt{\frac{7.03\,\lambda^2}{4\,(3\,L_e^2+h_{\operatorname{FR4}}^2)\,\pi^2}} \quad(9)\\
	\Theta_H\,&{=}\,2\,\arccos\sqrt{\frac{1}{2\,+\,2\pi\,\frac{W_{\operatorname{patch}}}{\lambda}}}\\
\end{aligned}
\ell_{\operatorname{feed}}\,{=}\,\frac{L_{\operatorname{patch}}}{\pi}\,\arccos\,\sqrt{\frac{R_{in}}{R_r}} \quad(10)

Scelta dello spessore del substrato

Erano disponibili tre livelli di spessore per il substrato 𝐹𝑅4 tra le richieste del progetto (vedi tabella 3). In questa parte verrà spiegato perché scegliere un supporto più sottile (se si utilizza il 𝐹𝑅4) è più conveniente. Questa scelta deriva sia dal comportamento fisico (efficienza delle radiazioni) sia dai limiti degli strumenti Matlab utilizzati (in termini di selezione del livello di densità della mesh in un intervallo che dia risultati più affidabili).

L’Antenna Toolbox fornisce informazioni specifiche sul livello di densità della mesh che dovrebbe essere adottato per la progettazione dei componenti dell’antenna patch. L’unico problema è che questi dettagli sono forniti solo per intervalli particolari del rapporto chiamato spessore relativo o spessore elettrico ℎ𝜆 (vedi [2] e [4]). Lo spessore elettrico dipende dal rapporto tra lo spessore del substrato (ℎFR4) e la lunghezza d’onda relativa al mezzo del substrato (𝜆FR4). Quando una mesh è configurata nell’ambiente dell’Antenna Toolbox, è necessario regolare un parametro specifico: la lunghezza massima del bordo del triangolo generico che copre la geometria dell’antenna (𝑒max). Nel caso di una lunghezza relativa ℎ𝜆 paragonabile a 1∕10, si consiglia di selezionare un 𝑒max ≅ 𝜆∕10. Uno spessore del substrato che rispetta questa relazione è chiamato substrato spesso. Nessuno dei substrati disponibili verifica questa condizione. Tra questi, solo il substrato più sottile e il penultimo (quindi ℎFR4 = 0.8𝑚𝑚 e ℎFR4 = 1.0𝑚𝑚) fanno parte di un intervallo di cui l’Antenna Toolbox fornisce istruzioni. È la gamma di substrati sottili: si dovrebbe adottare la modalità di mesh automatica, ovvero avente uno spessore relativo inferiore o uguale a un cinquantesimo (ℎ𝜆 ≤ 1∕50). Ciò porta a un’ulteriore spiegazione sullo spessore effettivo del substrato scelto per questo progetto. La logica di scelta del substrato più sottile inizia con la considerazione del suo fattore di qualità (𝑄) dipendente dalla tangente di perdita (𝑡𝑎𝑛𝛿) ed essendo generalmente basso nel caso del substrato FR4 (essendo le due quantità inversamente proporzionali, cioè 𝑄 ∝ 1∕𝑡𝑎𝑛𝛿, ed essendo (abbronzatura 𝛿) molto alta rispetto a quella di altri substrati più efficienti). Ciò significa che l’FR4 è un grande dispersore di potenza. Poiché l’aumento di ℎFR4 provocherà solo più perdite in termini di calo dell’efficienza della radiazione e poiché i soli valori di spessore di 0,8𝑚𝑚 e 1,0𝑚𝑚 darebbero risultati affidabili/accurati nelle simulazioni dell’Antenna Toolbox, viene adottato il livello di spessore 0,8𝑚𝑚.

Table 3: Project input parameters (frequency, matching and substrate features), theoretical (pre-optimized, shorted "preopt") and optimized ("post-opt") features of the patch and ground PIFA components
Table 3: Project input parameters (frequency, matching and substrate features), theoretical (pre-optimized, shorted “preopt”) and optimized (“post-opt”) features of the patch and ground PIFA components

Refinement della mesh

Sebbene sia già stata effettuata una scelta della densità della mesh selezionando la migliore lunghezza massima del bordo 𝑒max, di seguito verrà dimostrata l’accuratezza ottenibile utilizzando la modalità automatica della mesh nel caso di substrati appartenenti alla gamma di substrati sottili. Un primo studio dell’influenza del livello di densità della mesh sul coefficiente di riflessione (Γ in 𝑑𝐵) valutato alla frequenza di risonanza (𝑓 = 2.1𝐺𝐻𝑧) è stato realizzato, quindi è stata tracciata una curva Γ2.1𝐺𝐻𝑧 = 𝐹(𝑒max) con un passo di Δ𝑒max = 2.5.10−4 𝑚 tra ogni due densità di mesh relative al loro 𝑒max specifico. Questa prima simulazione ha considerato un intervallo più ampio di 𝑒 variazione massima: [2.5.10−4 𝑚, 6.0.10−4 𝑚].

Figure 3: Minimum of the reflection coefficient Γ [𝑑𝐵] in the frequency range 2.0 ÷ 2.2𝐺𝐻𝑧 depending on the varying mesh
density level
Figure 3: Minimum of the reflection coefficient Γ [𝑑𝐵] in the frequency range 2.0 ÷ 2.2𝐺𝐻𝑧 depending on the varying mesh density level

Poiché il grafico risultante (fig. 3) ha mostrato una grande incertezza del valore del coefficiente di riflessione alla frequenza di risonanza (Γ2.1𝐺𝐻𝑧) a quasi ogni livello di 𝑒max mesh (principalmente a causa del grande passo selezionato tra un livello di densità e l’altro), sono stati eseguiti test più dettagliati, considerando un intervallo leggermente più ristretto ([2.5.10−4 𝑚, 5.0−4 𝑚]) e una valutazione più dettagliata dei valori massimi di edge (in modo che il passo di variazione della mesh sia stato notevolmente ridotto a 1,0 .10−4 𝑚). In particolare, il passaggio tra due livelli di densità della mesh in termini di lunghezza massima del bordo è stato ridotto da un Δ𝑒𝑚 = 2.5.10−4 a Δ𝑒𝑚 = 1.0.10−4. In tutte queste simulazioni, è necessario notare un fatto importante. Variazioni anche molto piccole sul valore della lunghezza massima comportano notevoli incongruenze in quasi ogni parte del range di mesh in termini di variazioni considerevoli della frequenza a cui Γ raggiunge il suo minimo (min(Γ), quindi la frequenza di risonanza dell’antenna cambia molto facilmente). Pertanto, considerando la frequenza 𝑓∗ alla quale si ottiene effettivamente min(Γ), invece di valutarla al valore teorico della frequenza di risonanza ad ogni livello di mesh, è stato eseguito non solo il test standard che confronta 𝑒max e Γ, ma sono stati presi in considerazione anche i grafici che rappresentano la relazione tra 𝑓∗ e 𝑒max (fig. 8c), Δ𝑓∗ e 𝑒max (fig. 8b) e anche min(Γ) e 𝑒max (fig. 8a) (dove Δ𝑓∗ è la differenza tra 𝑓∗ e la frequenza di risonanza 𝑓 = 2.1𝐺𝐻𝑧). Sono state raccolte più relazioni tra parametri e ciò ha portato alla scelta di densità della mesh in termini di 𝑒max selezionato proprio all’interno della regione più stabile (ovvero che mostra la più piccola deviazione del coefficiente di riflessione minimo dalla frequenza di risonanza). Alla fine è stato preso in modo specifico il 𝑒max ‘automatico’ (= 3.5e−4 𝑚) suggerito dall’Antenna Toolbox, poiché questo valore appartiene alla regione stabile e sembra dare i risultati più accurati. I valori 𝑒max appartenenti alla regione stabile ([3.1 . 10−4 𝑚, 3.7.10−4 𝑚]) presentano leggere deviazioni dalla frequenza di risonanza (Δ𝑓∗ ∈ [0.01𝐺𝐻𝑧, 0.03𝐺𝐻𝑧]) e il minimo della riflessione il coefficiente varia nell’intervallo [−24 𝑑𝐵 , −33 𝑑𝐵].

Table 4: Final Γ and impedance matching values after last optimization choice: the 𝑤feed change
Table 4: Final Γ and impedance matching values after last optimization choice: the 𝑤feed change

Parametri dell’antenna patch

Dopo aver selezionato la lunghezza massima del bordo della mesh (di conseguenza, del suo livello di densità), viene effettuato un calcolo più raffinato del coefficiente di riflessione, in funzione della dimensione del patch (ovvero della sua lunghezza e larghezza), ma anche della posizione di alimentazione. In primo luogo, è stata considerata solo una variazione parametrica della posizione di alimentazione lungo la direzione della lunghezza della patch, a seconda delle variazioni di 𝐿patch e 𝑊patch. Ciò significa che il primo raffinamento della posizione di alimentazione è stato valutato a partire dalla sua equazione teorica (dipendente indirettamente da 𝑊patch). Nel calcolo di ogni passaggio della simulazione, quindi in ogni valutazione del coefficiente di riflessione, si è tenuto conto del cambio della posizione di alimentazione, mantenendo costante 𝑒max (la lunghezza precedentemente selezionata). Le variazioni di dimensione del patch hanno provocato ampie modifiche del coefficiente di riflessione, i cui valori a seconda di quello sono stati rappresentati da un diagramma di contorno iniziale (con variazioni della dimensione del patch in un intervallo più ampio e con un passo maggiore tra un valore e l’altro, vedi fig. 5a). Successivamente, è stata eseguita un’altra simulazione (fig. 5b) in un intervallo più ristretto per scegliere un insieme di valori Γ (relativi a un insieme di valori accoppiati (𝐿patch,𝑊patch)) che dovrebbero mettere l’antenna patch nella migliore condizione risonante (il che significa che si cerca un Γ il più vicino possibile a zero nella scala lineare e il più negativo possibile nella scala logaritmica 𝑑𝐵). La scala logaritmica (𝑑𝐵 grafica) è stata utilizzata per i diagrammi di contorno perché in questo modo i valori Γ risultanti sono più facili da distinguere l’uno dall’altro anche matematicamente e matematicamente.

Figure 4: Reflection coefficient (a) and impedance (b) plots depending on 𝑓 ∈ [2.0, 2.1𝐺𝐻𝑧]
Figure 5: First (a) and second (b) contour plots depending on the patch size (𝐿patch and 𝑊patch variations)

È stato selezionato insieme di 20 valori di Γ e rispettivi valori accoppiati (𝐿patch,𝑊patch) dal secondo intervallo di simulazione in modo da poter eseguire una simulazione più specifica. In questo terzo caso (fig. 15), il coefficiente di riflessione è stato tracciato in un intervallo attorno alla frequenza di risonanza ([2.0𝐺𝐻𝑧, 2.2𝐺𝐻𝑧]) per trovare quale sia la migliore combinazione per la dimensione della patch che fa effettivamente risuonare l’antenna alla frequenza di progetto. Un altro fattore determinante e discriminante era l’impedenza di ingresso (𝑍𝑖𝑛 = 𝑅𝑖𝑛 + 𝚥𝑌𝑖𝑛, dove la parte reale di 𝑍𝑖𝑛 è la resistenza di ingresso, mentre quella immaginaria è la reattanza di ingresso), perché era necessario ottenere un adattamento di impedenza fissato a 50Ω. Nel caso ideale, ovviamente, sarebbe necessario un coefficiente di riflessione Γ(𝑖𝑑) = 0.00 → −∞𝑑𝐵 per raggiungere il perfetto adattamento di impedenza (abbinamento perfetto con resistenza di ingresso a 50.00Ω e reattanza nulla). Un’ulteriore strategia di progettazione ha contribuito alla scelta finale della dimensione del patch: la posizione del feed può variare nella direzione della larghezza (𝑤feed). Pertanto, è stato eseguito uno studio parametrico di adattamento dell’impedenza a seconda di tale parametro sulla migliore coppia candidata e pochi altri valori. I risultati sono elencati nella tabella 4 e i grafici sono mostrati in fig. 6.

Figure 6: Final Γ (a) and impedance matching (b) plots after further refinement including 𝑤feed change.
Figure 7: Gain patterns (a) in the nulle elevation plane, (b) in the null azimuth plane and (c) 3D current plot on the patch
antenna
Figure 8: Comparison of the meshing parameter 𝑒max with minimum of reflection coefficient (a), variation of the resonant frequency with respect to the design one (the dotted line represents the value with respect to automatic meshing) (b), resonant frequency identified by the minimum of Γ (c)

Dalla PIFA all’approssimazione PCB stack

Poiché l’Antenna Array Designer (AAD) non è in grado di generare un array di PIFA, è stato utilizzato il Sensor Array Analyzer (SAA) per creare tale tipo di struttura, partendo dal Tchebyshev array factor design realizzato nella prima parte e dal precedente processo di ottimizzazione della singola antenna. Nell’ultima parte è necessario analizzare l’intera risonanza delle PIFA applicando un certo beamsteering per angoli particolari, guadagno totale, schemi di campo elettrico e magnetico. Sfortunatamente, non tutte queste informazioni possono essere estratte utilizzando esclusivamente lo strumento SAA. Questo fatto ha portato all’utilizzo di un altro strumento, il PCB Antenna Designer, in modo da poter analizzare tutti i parametri richiesti per il progetto. Con quest’ultimo strumento è stata realizzata una struttura simile a quella del PIFA e introdotta come elemento d’antenna della distribuzione dell’array. Poco prima di passare all’analisi dell’array, è stato eseguito un confronto tra l’antenna singola essendo una struttura PIFA e l’antenna creata utilizzando uno stack PCB.

Figure 9: Cropped zoom over PCB via holes. For an overall picture see fig. 16

È stata riscontrata una singola limitazione nell’uso del PCB Antenna Designer, ma è stata superata con una strategia di approssimazione. Quindi, la PIFA e lo stack PCB progettati non sono perfettamente identici, ma le loro prestazioni singole e complessive all’interno dell’array hanno mostrato una leggera differenza quantificabile. La limitazione consisteva nell’assenza di una specifica opzione o combinazione di comandi che permettesse di realizzare il cortocircuito rettangolare tra la patch e il ground plane. L’unica cosa che il progettista può fare è sostituire questo tipo di cortocircuito con una serie di via hole cilindrici di piccolo diametro (es. 0.4𝑚𝑚) (vedi fig. 16 e fig. 9) vicino a un bordo del patch, lungo la direzione della larghezza. Con questa scelta progettuale è stato possibile simulare un comportamento molto simile a quello della struttura PIFA. Per supportare questi risultati, è stato realizzato un confronto dei modelli di guadagno 2D (elevazione e azimuth) della PIFA con quelli dell’antenna stack PCB in termini di valori di errore quadratico medio, 𝑀𝑆𝐸, relativi ai due specifici due- modelli dimensionali considerati (𝑀𝑆𝐸𝑒𝑙 = 0,55𝑑𝐵 di direttività sul taglio di elevazione e 𝑀𝑆𝐸𝑎𝑧 = 0,16𝑑𝐵 di direttività sul taglio azimutale). Inoltre, poiché il SAA consente il tracciamento di alcuni modelli come la direttività (ma non del guadagno), è stato presentato un confronto tra i modelli 2D dell’array di antenne dei PIFA e l’array di PCB. In tal caso l’errore viene presentato come un confronto tra i livelli del lobo principale nell’array PIFA e nei casi dell’array PCB, ma anche in termini di livelli del primo primo lobo laterale dei due array (vedere tabella 5). Questa discussione era necessaria, perché il passaggio all’ultima parte del progetto ha richiesto uno studio più approfondito dell’array di antenne, che verrà visualizzato utilizzando l’antenna PCB come elemento dell’array. Un’ulteriore discussione sulle differenze tra gli strumenti può essere consultata nei Metodi.

Comportamento complessivo dell’array

In quest’ultima parte del progetto, il fattore array e il design dell’antenna (PIFA o stack PCB) vengono combinati in modo da esaminarne l’effetto totale. Come già accennato nel paragrafo precedente, alcune delle informazioni che descrivono le prestazioni complessive dell’array possono essere richieste sia al SAA (dove è stato progettato l’array di PIFA) sia al PCB/AAD (dove l’antenna single patch realizzata a partire dal PCB stack è poi possibile costruire anche l’intero array). Le prestazioni dell’intero array saranno valutate in due casi: nel caso broadside (90°) ma anche a 45° dalla direzione di puntamento. Prima di tutto, è molto semplice identificare i coefficienti di fase nel caso broadside perché sono tutti uguali a 0 (non c’è uno sfasamento effettivo tra le antenne). Nel secondo caso è possibile effettuare dei calcoli manuali per inserire gli sfasamenti tra le singole antenne (questo è il caso dello stack array PCB), e può essere anche calcolato automaticamente utilizzando l’array di PIFA. La procedura generica è mostrata nell’eq. (12). Poco prima di passare all’ultima parte dell’analisi, dove verranno considerate solo le caratteristiche dell’array di PCB, verrà effettuato un ultimo confronto tra l’array di PCB e l’array di PIFA in termini di pattern di direttività 2D (entrambi in broadside e a 5° dalla direzione del lato esterno, vedi fig. 19). Verrà mostrata un’analisi degli errori basata sulla differenza tra il lobo principale dell’array PCB e quello dell’array PIFA, ma anche sulla differenza tra il lobo laterale principale dell’array PCB e quello dell’array PIFA (vedere tabella 5). I modelli e i risultati numerici in base ai valori di errore numerico illustrano come l’array di PCB rappresenti un’approssimazione sufficientemente buona dell’array di PIFA (vedi fig. 10 e fig. 19).

Table 5: Comparison between the array of PIFAs and the array of PCBs in terms of the directivity evaluated in their main lobes and first side lobes, both in the broadside and 45◦ off the boresight direction, both in the azimuth cut (𝑎𝑧) and elevation cut (𝑒𝑙) planes. The comparison has been made in terms of the directivity difference (Δ𝐷# = 𝐷𝑃 𝐼𝐹𝐴𝑠 − 𝐷𝑃𝐶𝐵𝑠 in 𝑑𝐵) in the corresponding positions and also as a relative percentage error (Δ𝐷𝑟 # %, the ratio between Δ𝐷# and the directivity in the array of PIFAs case (𝐷𝑃 𝐼𝐹𝐴𝑠)
Table 6: Particular electric (𝐸) and magnetic (𝐻) field values measured in both broadside (90◦) and in the 45◦ off the boresight directions. The 𝐸-field is measured in [ 𝑉 𝑚 ] while the 𝐻-field in [ 𝐴 𝑚 ] . The fields have been measured with respect to the centers of each element antenna vertically off the array plane at different height levels of 𝑧𝑓𝑟𝑒 (inductive region), 𝑧𝑓𝑟𝑎𝑢𝑛 (radiative region) and 4.𝑧𝑓𝑟𝑎𝑢𝑛 (particular coordinate in the far field region).

Guadagno totale dell’array

Per ottenere e descrivere gli ultimi grafici del progetto, non è possibile ricorrere al SAA perché alcuni dei comandi, come EHfields() e patternMultiply(), non sono disponibili in questo strumento. Quindi, in quest’ultima parte, verrà utilizzato solo l’array di PCB, perché compatibile con questi comandi. Il guadagno totale dell’array verrà calcolato e visualizzato in due diversi casi: mediante un modello fullwave (senza approssimazioni) e utilizzando il principio della moltiplicazione dei pattern. Questo secondo caso è solo ideale perché fa un’approssimazione dei modelli reali non considerando le interazioni indotte reciproche tra le singole antenne dell’array; tuttavia, in questo modello viene considerata un’interazione “matematica” perché deriva da una formulazione che miscela l’effetto del singolo elemento (che fornisce un fattore di guadagno dell’elemento 𝐺0) sul pattern di guadagno con l’influenza del filtro angolare del fattore dell’array, ponderato da una combinazione dei coefficienti correnti (che fornisce un fattore di guadagno dell’array 𝐺𝐹 ). Il caso ideale generale si basa sul principio della moltiplicazione del pattern, che (in un caso come il modello di sintesi di array di Tchebyshev, quindi con feed di ampiezza non uniforme), terrà conto anche dell’effetto dell’efficienza del tapering (𝜂𝑇 ) (vedi eq. (13)). Pertanto, il principio di moltiplicazione del modello può essere applicato angolo per angolo e questo fornirà un insieme di valori che possono essere calcolati e inseriti nelle matrici utilizzando MatLab. Partendo dalle matrici si possono rappresentare i pattern 2D. D’altra parte, un modo più semplice è usare il comando patternMultiply() e ottenere i modelli ideali.

Figure 10: 2D gain patterns (ideal ■ and real ■ ) in both the broadside case ((a) azimuth cut and (b) elevation cut) and 45◦ off the boresight direction ((c) azimuth cut and (d) elevation cut).

Campi elettromagnetici in near field

Le caratteristiche del campo vicino (distinguendo tra le sue regioni induttive e radiative) sono state analizzate sia in broadside sia a 45° dalle condizioni di puntamento. Sono state analizzate due situazioni: il comportamento generale in campo vicino (nelle sue componenti di campo elettrico e magnetico) ma anche l’orientamento specifico dei campi nella posizione centrale di ciascuno dei cinque elementi che compongono l’antenna (quindi, considerando le coordinate 𝑥 e 𝑦 di ogni patch corrispondente alle direzioni di lunghezza e larghezza del suo sviluppo planare e la 𝑧 coordinata che rappresenta la componente verticale della distanza tra il punto di osservazione e l’array). La distanza verticale 𝑧 è stata considerata in tre diversi casi. Innanzitutto, la regione di Fresnel (regione di campo vicino induttivo) è stata analizzata a 𝑧𝑓𝑟𝑒 = 0,62 √ 𝐿3 max∕𝜆 (dove 𝐿max è la dimensione massima dell’array, quindi 𝐿max = 4𝑑𝑜𝑝𝑡 + 𝐿patch), mentre è stata misurata la regione di campo vicino radiativo , a partire dall’espressione limite di Fraunhofer (𝑧𝑓𝑟𝑎𝑢𝑛 = 2𝐷2∕𝜆), a 𝑧𝑓𝑟𝑎𝑢𝑛∕2. Inoltre, è stato considerato un punto di osservazione a una distanza generica dall’array nella regione del campo lontano (4𝑧𝑓𝑟𝑎𝑢𝑛). I tre casi possono essere confrontati sia negli esempi di broadside che a 45°. Nel caso broadside, i campi elettrici e magnetici vicini induttivi e radiativi possono essere ordinati seguendo come criterio l’aumento delle loro intensità. Si può notare che l’ordine di queste intensità (chiamandole 𝐸𝑖, 𝐻𝑗 , con 𝑖, 𝑗 = −2, 2) è lo stesso di quello delle correnti di alimentazione (viene mostrata la relazione o le 𝐸 intensità di campo – vedi eq. (11) – ma funziona in modo analogo per il campo 𝐻). Nel campo lontano è osservabile un fenomeno totalmente diverso (almeno nel caso broadside e con buona approssimazione anche a 45°): le componenti del campo 𝐸 sono tutte uguali, come quelle relative al campo magnetico 𝐻. Questo può essere interpretato come segue: nel campo vicino, gli elementi dell’array non si comportano ancora completamente come un oggetto radiante unico e prevalgono le interazioni reciproche che li faranno funzionare all’unisono solo a una distanza maggiore (cioè nel campo lontano). Questo fatto può essere esplicitamente analizzato osservando i campi elettrici e magnetici registrati alle specifiche distanze: il tutto è mostrato in tabella 6. I fatti sopra descritti possono essere osservati anche in fig. 11.

Figure 11: Electric and magnetic fields in Fresnel region in both broadside (a) and 45° off the boresight direction (b). Same fields calculated in the center of the position of the antennas in both broadside (c) and 45° off the boresight direction (d). The contribution of the various coefficients is evident.
	\begin{aligned}
	&\text{If}\quad &C_0\,>\,C_{1}\,>\,C_2\\
	&\text{and} \quad &C_0>C_{-1}>C_{-2}\\
	&\text{then} \quad &E_0\,>\,E_{1}\,>\,E_2\\
	&\text{then} \quad  &E_0>E_{-1}>E_{-2}\\
	\end{aligned} 
\quad (11)

Metodi

In questo paragrafo conclusivo verrà indicato un elenco dei comandi MatLab non disponibili per tutti gli strumenti utilizzati. Successivamente verranno discussi i costi computazionali relativi alle diverse parti del progetto. Al termine verrà mostrato un confronto tra l’array di PIFA realizzati in Matlab e la CST Studio Suite (edizione per studenti). Le formulazioni teoriche estratte da [1] e adottate per questo progetto riguardanti il ​​modello PIFA pre-ottimizzato e il design del fattore di array di Tchebyshev sono state implementate anche in Wolfram Mathematica, che consente all’utente di scrivere e calcolare formule in modo molto veloce e chiaro (a tal fine il software funge da Computer Algebra System). Spiegare quali sono i limiti di ogni strumento e i nostri precedenti suggerimenti su come combinarli (questo ha permesso di ottenere risultati conclusivi) può aiutare il lettore che vuole impegnarsi a fare alcuni studi simili sull’array di antenne. Per questo progetto sono stati utilizzati quattro diversi strumenti MatLab appartenenti a due diversi toolbox. Utilizzando lo strumento Antenna Designer, la struttura PIFA è stata generata e analizzata, mentre lo stack PCB è stato creato e studiato tramite PCB Antenna Designer e abbiamo formalizzato l’array di PCB dall’AAD. Tutti questi strumenti appartengono all’Antenna Toolbox ([3]), mentre il SAA (con il quale è possibile lo studio dell’array di PIFA) fa parte del Phased Sensor Array Analizer ([5]). Le differenze in termini di informazioni che possono essere estratte direttamente utilizzando i comandi dei due principali toolbox utilizzati per questo progetto sono mostrate nella tabella 7.

Dedichiamo anche un breve paragrafo alla discussione sui costi computazionali. In termini di memoria ad accesso casuale (RAM) occupata dai diversi elementi durante le simulazioni, il singolo PIFA pesa 960 MB, mentre il singolo PCB 1,2 GB; l’array di PIFA occupa 4 GB mentre l’array di PCB occupa 5,6 GB di memoria. L’occupazione della RAM non è sufficiente per descrivere i costi computazionali, ma rappresenta solo un punto di partenza (dà informazioni sulla “pietra” che deve essere trasportata, ma non su quanto tempo). Pertanto, le informazioni sul tempo impiegato dalla workstation adottata dal progetto per completare i calcoli delle diverse simulazioni sono raccolte nella tabella 8. Il tempo di esecuzione per una simulazione del diagramma di radiazione (in entrambe le antenne PIFA singole e PCB e gli array) e in fig. 12. Abbiamo realizzato un modello PIFA anche in CST Studio Suite e tracciato i suoi diagrammi di radiazione 2D. Per cercare un ulteriore confronto, i dati relativi al pattern di guadagno nel taglio azimutale sono stati esportati come file .txt che sono stati convertiti in un array in Matlab in modo che il pattern di guadagno in questo taglio potesse essere sovrapposto a quello di il PIFA realizzato con l’Antenna Designer (vedi).

Figure 12: Analysis of the computational cost of PIFA vs PCB in the calculation of the radiation pattern (single antenna and array) and of the sparameters
Figure 13: 2D gain patterns in the azimuth cut: comparison between the PIFA created in Matlab (■) and that designed in CST Studio Suite (■).
Table 7: This table is listing some of the commands which have been used for this project. Some of them are partly or fully compatible with both the tools used for the array analysus and others have been implemented by Matlab to work only in one of them. The main issue of the simulation part was the array of PIFAs could be realized with SAA but using that tool didn’t allow to study the electromagnetic field. Instead, the AAD permitted the realization of an array of PCBs, which electromagnetic field could be represented and discussed.
Table 8: The optimization process went through different steps, as described in the previous sections. Here, some of the computational duration required to completely execute some of the simulations (related to one of the workstations which have been used) are listed so the reader may have an idea of the computational costs for this project array
	\begin{aligned}
		u_0&=\alpha d_{opt}\,=\,2\pi\frac{d_{opt}}{\lambda}\,\cos(\theta_0)\\
		\alpha_n&=n\,\alpha\,d_{opt}=nu_0\qquad \left(n=\overline{1,5}\right)
	\end{aligned} \quad (12)
	G_{total}=\,\eta_T\,G_0\,G_T\quad (13)

Conclusioni

Le diverse analisi condotte in questo documento hanno soddisfatto i requisiti del progetto (nessuno è stato omesso). Il toolbox che sono stati utilizzati hanno consentito di raggiungere i risultati finali (relativi ai campi elettrici e magnetici) utilizzando la struttura PCB come elemento di antenna dell’array poiché l’array di PIFA non è compatibile per questo tipo di studio. L’utilizzo dell’array di PCB ha introdotto degli errori accetabili. L’utilizzo dell’array di PCB ha comportato un notevole aumento dei costi computazionali e questo può rappresentare un ostacolo per gli utenti che vorrebbero replicare i risultati ma non dispongono di sufficienti risorse di memoria.

Data availability

Tutto il codice Matlab è disponibile nel repository online (file final_wet_project.m ) al seguente link: https://github. com/mastroalex/antenna-design. Sono inoltre disponibili ulteriori grafici e informazioni sulle proprietà dell’antenna e dell’array. Sono presenti sono tutti i dati grezzi per le figure e il calcolo. Nell’appendice ci sono diversi pattern di radiazione (per il confronto PCB e PIFA), pattern di guadagno 3D, diagramma di Smith e diversi diagrammi per l’antenna/array. Sono presenti anche un diagramma di flusso del progetto e alcuni frammenti di codice.

Riferimenti

  • [1] Constantine A. Balanis. Antenna Theory: Analysis and Design. John Wiley & Sons Inc, 2016.
  • [2] Sergey N. Makarov. Antenna and EM modeling with MATLAB. A John Wiley & Sons, Inc., publication, 202.
  • [3] MathWorks®. Antenna Toolbox. 2022. url: https://it.mathworks.com/products/antenna.html (visited on 11/01/2022).
  • [4] MathWorks®. Meshing. 2022. url: https://it.mathworks.com/help/antenna/ug/meshing.html (visited on 11/01/2022).
  • [5] MathWorks®. Phased Array System Toolbox. 2022. url: https : / / it . mathworks . com / products / phased – array.html (visited on 11/01/2022).
  • [6] Sophocles J. Orfandis. Electromagnetic Waves and Antennas. The MathWorks, Inc., 1999-2016.

Appendice

Figure 14: EH Fields in radiative near field region for broadside (a) and 45° off boresight direction (b) and in far field region for broadside (c) and 45° off boresight direction (d)
Figure 15: The two best Γ plots depending on the specific patch size expressed coupled variations (𝐿patch,𝑊patch) and represented in a frequency range of [2.0, 2.1]𝐺𝐻𝑧
Figure 16: 3D view and top view of the PIFA approximation realized with a PCB stack and cylindrical shorting pins
Figure 17: PCB array
Figure 18: 2D gain patterns (PIFA (■) and PCB (■)) in both the broadside case (azimuth (a) cut and elevation (b) cut) and 45◦ off the boresight direction (azimuth (c) cut and elevation (d) cut). The curve with the dashed line has not been calculated regularly but mirrored, due to the limitation in the maximum elevation angle range which can be asked for in the SAA patterns.
Figure 19: PIFA (■) and PCB (■) single antenna directivity patterns (dB) in the Azimuth cut (𝜃𝑒𝑙 = 0◦, (a)) and in the Elevation cut (𝜙𝑎𝑧 = 0◦, (b)). PIFA and PCB arrays directivity patterns (dB) in the Azimuth cut (𝜃𝑒𝑙 = 0◦, (c)) and in the Elevation cut (𝜙𝑎𝑧 = 0◦, (d))
Figure 20: Gain pattern for PIFA single antenna (a) and PCB array (b). Smith chart (c)
Figure 21: Flowchart
for i=1:length(v)
	mesh(p,'MaxEdgeLength',v(i));
	s = sparameters(p,freqRange);
	slog=20*log10(abs(s.Parameters));
	ssi=slog(:,:);
	freq(i)=s.Frequencies(ssi==min(ssi));
	smin(i)=min(ssintax);
	disp('Step: ');
	disp(length(v)+1-i);
	close all
end 
	u0 = -k0*dopt*cos(pi/4);
	an = zeros(5,1);
	for i=0:4
		an(i+1,1) = i*u0; 
	end
	kfa_ster=kfa;
	kfa_ster.PhaseShift = an*(180/pi);